Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00025072

💡 Идея. вся задача держится на одном свойстве: любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Правило: биссектриса делит угол пополам, и каждая её точка находится на одинаковом расстоянии от обеих сторон угла. Это стандартное свойство биссектрисы — им и воспользуемся дважды.

Точка $M$ лежит на биссектрисе угла $A$. Стороны этого угла — лучи $AB$ и $AD$. Значит, расстояния от $M$ до прямых $AB$ и $AD$ равны:

$$\rho(M,\ AB)=\rho(M,\ AD).$$

Та же точка $M$ лежит и на биссектрисе угла $D$. Стороны этого угла — лучи $DA$ и $DC$. Значит:

$$\rho(M,\ AD)=\rho(M,\ CD).$$

Обрати внимание: расстояние до прямой $AD$ встречается в обоих равенствах — оно и связывает всё в цепочку:

$$\rho(M,\ AB)=\rho(M,\ AD)=\rho(M,\ CD).$$

Все три расстояния равны, то есть точка $M$ равноудалена от прямых $AB$, $AD$ и $CD$. Что и требовалось доказать.

Проверка себя: условие «$M$ лежит на $BC$» гарантирует, что обе биссектрисы действительно успевают встретиться в одной точке, — само же свойство биссектрисы работает для любой её точки.