Задание 24 ОГЭ по математике: Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M ,…
№2. Задание 24
ID: 00025072
Биссектрисы углов A и D трапеции ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC. Докажите, что точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD.
Источник: Сборник Ященко 2026
Решение
💡 Идея. вся задача держится на одном свойстве: любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.
Правило: биссектриса делит угол пополам, и каждая её точка находится на одинаковом расстоянии от обеих сторон угла. Это стандартное свойство биссектрисы — им и воспользуемся дважды.
Точка M лежит на биссектрисе угла A. Стороны этого угла — лучи AB и AD. Значит, расстояния от M до прямых AB и AD равны:
\rho(M,\ AB)=\rho(M,\ AD).
Та же точка M лежит и на биссектрисе угла D. Стороны этого угла — лучи DA и DC. Значит:
\rho(M,\ AD)=\rho(M,\ CD).
Обрати внимание: расстояние до прямой AD встречается в обоих равенствах — оно и связывает всё в цепочку:
\rho(M,\ AB)=\rho(M,\ AD)=\rho(M,\ CD).
Все три расстояния равны, то есть точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD. Что и требовалось доказать.
Проверка себя: условие «M лежит на BC» гарантирует, что обе биссектрисы действительно успевают встретиться в одной точке, — само же свойство биссектрисы работает для любой её точки.
Ответ
Доказано: точка M равноудалена от прямых AB, AD и CD — как точка биссектрисы угла A она равноудалена от AB и AD, как точка биссектрисы угла D — от AD и CD, поэтому все три расстояния равны