ID: 00024876
Точка $E$ — середина боковой стороны $AB$ трапеции $ABCD$, а $EC=ED$. Докажите, что трапеция $ABCD$ прямоугольная.
Источник: Сборник Ященко 2026
Идея доказательства: провести среднюю линию трапеции и показать, что она перпендикулярна боковой стороне $CD$, — тогда и параллельные ей основания перпендикулярны $CD$.
В трапеции $ABCD$ боковые стороны — $AB$ и $CD$, основания — $BC$ и $AD$. Пусть $F$ — середина боковой стороны $CD$.
Правило: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, — это средняя линия, и она параллельна основаниям. Значит, $EF\parallel BC$ и $EF\parallel AD$.
Теперь посмотрим на треугольник $ECD$. По условию $EC=ED$, то есть он равнобедренный с основанием $CD$, а $EF$ — его медиана, проведённая к основанию: точка $F$ — середина $CD$.
Правило: в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой. Поэтому:
$$EF\perp CD.$$
Осталось перенести перпендикулярность на основания. Прямая $CD$ перпендикулярна $EF$, а основания $BC$ и $AD$ параллельны $EF$ — значит, $CD$ перпендикулярна и им:
$$CD\perp BC,\qquad CD\perp AD.$$
Углы трапеции при боковой стороне $CD$ прямые, то есть трапеция $ABCD$ прямоугольная. Что и требовалось доказать.