Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00024876

Идея доказательства: провести среднюю линию трапеции и показать, что она перпендикулярна боковой стороне $CD$, — тогда и параллельные ей основания перпендикулярны $CD$.

В трапеции $ABCD$ боковые стороны — $AB$ и $CD$, основания — $BC$ и $AD$. Пусть $F$ — середина боковой стороны $CD$.

Правило: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, — это средняя линия, и она параллельна основаниям. Значит, $EF\parallel BC$ и $EF\parallel AD$.

Теперь посмотрим на треугольник $ECD$. По условию $EC=ED$, то есть он равнобедренный с основанием $CD$, а $EF$ — его медиана, проведённая к основанию: точка $F$ — середина $CD$.

Правило: в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой. Поэтому:

$$EF\perp CD.$$

Осталось перенести перпендикулярность на основания. Прямая $CD$ перпендикулярна $EF$, а основания $BC$ и $AD$ параллельны $EF$ — значит, $CD$ перпендикулярна и им:

$$CD\perp BC,\qquad CD\perp AD.$$

Углы трапеции при боковой стороне $CD$ прямые, то есть трапеция $ABCD$ прямоугольная. Что и требовалось доказать.