ID: 00024876
Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD, а EC=ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.
Источник: Сборник Ященко 2026
Идея доказательства: провести среднюю линию трапеции и показать, что она перпендикулярна боковой стороне CD, — тогда и параллельные ей основания перпендикулярны CD.
В трапеции ABCD боковые стороны — AB и CD, основания — BC и AD. Пусть F — середина боковой стороны CD.
Правило: отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, — это средняя линия, и она параллельна основаниям. Значит, EF\parallel BC и EF\parallel AD.
Теперь посмотрим на треугольник ECD. По условию EC=ED, то есть он равнобедренный с основанием CD, а EF — его медиана, проведённая к основанию: точка F — середина CD.
Правило: в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и высотой. Поэтому:
EF\perp CD.
Осталось перенести перпендикулярность на основания. Прямая CD перпендикулярна EF, а основания BC и AD параллельны EF — значит, CD перпендикулярна и им:
CD\perp BC,\qquad CD\perp AD.
Углы трапеции при боковой стороне CD прямые, то есть трапеция ABCD прямоугольная. Что и требовалось доказать.