Задание 24 ОГЭ по математике: Внутри параллелограмма ABCD выбрали произвольную точку N .…

№2. Задание 24

ID: 00024849

Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $N$ . Докажите, что сумма площадей треугольников $ABN$ и $CND$ равна сумме площадей треугольников $BNC$ и $AND$ .

Источник: Сборник Ященко 2026

Решение

Идея доказательства: показать, что каждая пара треугольников забирает ровно половину площади параллелограмма.

Обозначим $AB=CD=a$ — противоположные стороны параллелограмма равны, а расстояние между прямыми $AB$ и $CD$ , то есть высоту параллелограмма, — через $h$ .

Опустим из точки $N$ перпендикуляры на прямые $AB$ и $CD$ , их длины $h_1$ и $h_2$ . Обрати внимание: точка $N$ зажата между двумя параллельными прямыми, поэтому эти перпендикуляры вместе составляют всю высоту:

$h_1+h_2=h.$

Считаем площади треугольников $ABN$ и $CND$ : у них равные основания $a$ , а высоты — как раз $h_1$ и $h_2$ :

$S_{ABN}+S_{CND}=\dfrac12 a h_1+\dfrac12 a h_2=\dfrac12 a(h_1+h_2)=\dfrac12 ah=\dfrac12 S_{ABCD}.$

Первая пара треугольников забрала ровно половину площади — значит, второй паре осталась вторая половина:

$S_{BNC}+S_{AND}=S_{ABCD}-\dfrac12 S_{ABCD}=\dfrac12 S_{ABCD}.$

Обе суммы равны половине площади параллелограмма, а значит, равны между собой. Что и требовалось доказать.

Ответ

Доказано:

S_{ABN}+S_{CND}=\dfrac{1}{2}S_{ABCD}

— перпендикуляры из точки

N

на противоположные стороны

AB

CD

в сумме дают высоту параллелограмма, поэтому суммарная площадь равна

\dfrac{1}{2}AB\cdot h=\dfrac{1}{2}S