Четырёхуголь… — Задание 24 ОГЭ по математике №00024849

Идея доказательства: показать, что каждая пара треугольников забирает ровно половину площади параллелограмма.

Обозначим $AB=CD=a$ — противоположные стороны параллелограмма равны, а расстояние между прямыми $AB$ и $CD$, то есть высоту параллелограмма, — через $h$.

Опустим из точки $N$ перпендикуляры на прямые $AB$ и $CD$, их длины $h_1$ и $h_2$. Обрати внимание: точка $N$ зажата между двумя параллельными прямыми, поэтому эти перпендикуляры вместе составляют всю высоту:

$$h_1+h_2=h.$$

Считаем площади треугольников $ABN$ и $CND$: у них равные основания $a$, а высоты — как раз $h_1$ и $h_2$:

$$S_{ABN}+S_{CND}=\dfrac12 a h_1+\dfrac12 a h_2=\dfrac12 a(h_1+h_2)=\dfrac12 ah=\dfrac12 S_{ABCD}.$$

Первая пара треугольников забрала ровно половину площади — значит, второй паре осталась вторая половина:

$$S_{BNC}+S_{AND}=S_{ABCD}-\dfrac12 S_{ABCD}=\dfrac12 S_{ABCD}.$$

Обе суммы равны половине площади параллелограмма, а значит, равны между собой. Что и требовалось доказать.