Решите уравнение: корень 3-й степени из: начало аргумента: x в квадрате минус x минус 1 конец аргумента равно x минус 1 .

Задание ОГЭ по математике: Решите уравнение: корень 3-й степени из: начало аргумента: x в…

№2. Задание без номера

ID: 00024008

Решите уравнение: $\sqrt[3]{x^2-x-1}=x-1$ .

Источник: Global_EE

Решение

Корень нечётной степени определён при любых числах и может быть любого знака, поэтому ограничений на $x-1$ нет — ОДЗ вся прямая, посторонние корни не появятся.

Возводим обе части в куб. Справа работает формула куба разности: $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$ .

$x^2-x-1=x^3-3x^2+3x-1$

Переносим всё вправо: из $x^3-3x^2+3x-1$ вычитаем $x^2-x-1$ .

$0=x^3-4x^2+4x$

В каждом слагаемом есть $x$ — выносим его за скобку.

$x(x^2-4x+4)=0$

В скобке — полный квадрат: $x^2-4x+4=(x-2)^2$ .

$x(x-2)^2=0$

Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель.

$x=0,\qquad x=2$

Проверим оба. При $x=0$ : слева $\sqrt[3]{-1}=-1$ , справа $0-1=-1$ — верно. При $x=2$ : слева $\sqrt[3]{4-2-1}=\sqrt[3]{1}=1$ , справа $2-1=1$ — верно.

Ответ

0; 2 / 2; 0 / x=2; x=0