Рациональные и… — Задание ОГЭ по математике №00024008

Корень нечётной степени определён при любых числах и может быть любого знака, поэтому ограничений на $x-1$ нет — ОДЗ вся прямая, посторонние корни не появятся.

Возводим обе части в куб. Справа работает формула куба разности: $(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1$.

$$x^2-x-1=x^3-3x^2+3x-1$$

Переносим всё вправо: из $x^3-3x^2+3x-1$ вычитаем $x^2-x-1$.

$$0=x^3-4x^2+4x$$

В каждом слагаемом есть $x$ — выносим его за скобку.

$$x(x^2-4x+4)=0$$

В скобке — полный квадрат: $x^2-4x+4=(x-2)^2$.

$$x(x-2)^2=0$$

Произведение равно нулю, когда обнуляется хотя бы один множитель.

$$x=0,\qquad x=2$$

Проверим оба. При $x=0$: слева $\sqrt[3]{-1}=-1$, справа $0-1=-1$ — верно. При $x=2$: слева $\sqrt[3]{4-2-1}=\sqrt[3]{1}=1$, справа $2-1=1$ — верно.