Global EE

Населенные… — Задание 5 ОГЭ по математике №00002239

Задание №5. Выбор оптимального варианта

Населенные пункты

№2. Задание 5

ID: 00002239

На рисунке изображён план сельской местности. Глеб летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Дубровка (на плане обозначена цифрой 4). В субботу Глеб с дедушкой собираются съездить на машине в село Субботино на ярмарку. Из Дубровки в Субботино можно проехать по шоссе до села Забелино, где нужно свернуть под прямым углом направо на другое шоссе, проехать деревню Невестино, мост через речку и в деревне Орловка ещё раз повернуть направо. Указанный маршрут можно сократить по расстоянию, если в Невестино свернуть с шоссе на просёлочную дорогу, ведущую напрямую в Субботино. Из Дубровки в Невестино также можно проехать не через Забелино, а по просёлочной дороге мимо конюшни. Ещё один возможный маршрут — это из Дубровки ехать по шоссе в противоположную сторону от Забелино через мост до посёлка Бор, где надо свернуть налево на просёлочную дорогу, ведущую в деревню Квасны, где надо ещё раз повернуть налево на шоссе.

Прямые участки дорог между пунктами 1, 3, 5 и 6, указанными на плане, образуют прямоугольник. По шоссе Глеб с дедушкой едут со скоростью 75 км/ч, а по просёлочным дорогам – 60 км/ч. Расстояние по шоссе от Дубровки до Забелино равно 24 км, от Забелино до Бора – 50 км, от Невестино до Орловки – 40 км, от Орловки до Забелино – 47 км, а от Орловки до Субботино – 42 км.


Определите, на какой маршрут из Дубровки в Субботино потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Глеб с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Источник: ФИПИ

Решение

Сравним маршруты из Дубровки в Субботино по времени (шоссе 75 км/ч, просёлок 60 км/ч).

Маршрут только по шоссе: Дубровка — Забелино 24 км, Забелино — Орловка 47 км, Орловка — Субботино 42 км, всего $24+47+42=113$ км.

Время по шоссе: $$\dfrac{113}{75}\cdot 60 = 90{,}4 \text{ мин}.$$

Маршрут со срезкой в Невестино: по шоссе Дубровка — Забелино — Невестино это $24+7=31$ км (Забелино — Невестино $=47-40=7$ км), дальше напрямую по просёлку Невестино — Субботино.

Просёлок Невестино — Субботино — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $40$ и $42$ км: $$\sqrt{40^2+42^2}=\sqrt{3364}=58 \text{ км}.$$

Время этого маршрута: $$\dfrac{31}{75}\cdot 60 + \dfrac{58}{60}\cdot 60 = 24{,}8 + 58 = 82{,}8 \text{ мин}.$$

Маршрут по просёлку мимо конюшни Дубровка — Невестино (гипотенуза с катетами $24$ и $7$: $\sqrt{24^2+7^2}=25$ км), затем по шоссе Невестино — Орловка — Субботино $40+42=82$ км: время $\dfrac{25}{60}\cdot60 + \dfrac{82}{75}\cdot60 = 25 + 65{,}6 = 90{,}6$ мин.

Остался маршрут через Бор. Он только кажется длинным: сначала едем от Забелино в другую сторону, зато дальше почти весь путь проходит по прямым дорогам.

По шоссе от Дубровки до Бора: Забелино — Бор $50$ км, из них Дубровка — Забелино $24$ км, значит Дубровка — Бор $50-24=26$ км.

Пункты Бор, Забелино, Орловка и Квасны — вершины прямоугольника. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому просёлок Бор — Квасны равен стороне Забелино — Орловка, то есть $47$ км, а шоссе Квасны — Орловка равно стороне Бор — Забелино, то есть $50$ км.

Субботино лежит на шоссе Квасны — Орловка, и от Орловки до него $42$ км. Значит, от Квасны до Субботино $50-42=8$ км.

По шоссе на этом маршруте едем $26+8=34$ км, по просёлку — $47$ км. Время:

$$\dfrac{34}{75}\cdot 60 + \dfrac{47}{60}\cdot 60 = 27{,}2 + 47 = 74{,}2 \text{ мин}.$$

Сравним все четыре маршрута: $90{,}4$, $82{,}8$, $90{,}6$ и $74{,}2$ минуты. Наименьшее время даёт маршрут через Бор и Квасны — $74{,}2$ минуты.

Ответ

74,2

Видеоразбор

Другие задания по теме «Населенные пункты» (8)