Задание 21 Базовая Математика №00042850

Обозначим число верных ответов $x$, число ошибок $y$. За верные ответы ученик получил $5x$ очков, за ошибки с него списали $12y$:

$$5x-12y=35.$$

Кроме того, $y\geq1$ (он ошибся хотя бы раз) и $x+y\leq25$ (вопросов всего $25$, остальные пропущены).

Числа $5x$ и $35$ делятся на $5$, значит, и $12y=5x-35$ делится на $5$. Число $12$ на $5$ не делится, поэтому на $5$ должно делиться $y$: $y=5,\ 10,\ \ldots$

При $y=5$: $5x=35+60=95$, $x=19$. Отвечено $19+5=24$ вопроса, один пропущен — подходит.

При $y=10$: $5x=35+120=155$, $x=31$ — это больше $25$ вопросов, не подходит. При больших $y$ верных ответов нужно ещё больше.

Значит, верных ответов было $19$.

Проверим себя: $19\cdot5-5\cdot12=95-60=35$ очков.

Можно перебирать и сверху, по верным ответам: при $x=25,24,\ldots,20$ разности $5x-35$ равны $90, 85, 80, 75, 70, 65$ — ни одна не делится на $12$; при $x=19$ разность $60=12\cdot5$, ошибок $5$, и $19+5=24\le25$. Заметим, что равенство с перепутанными числами $12x-5y=35$ тоже имеет целое решение ($x=5$, $y=5$), поэтому важно не перепутать награду и штраф.