Задание 21 Базовая Математика №00042829

Задание №21. Задачи на смекалку

Текстовые задачи повышенной трудности

№2. Задание 21

ID: 00042829

Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 12 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 40 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?

Источник: ФИПИ

Решение

Пусть ученик дал $$x$$ верных ответов и $$y$$ неверных. Тогда очков у него $$5x-12y$$ , и по условию

$5x-12y=40,\qquad y\geq1,\qquad x+y\leq25.$

Числа $$5x$$ и $$40$$ делятся на $$5$$ , значит, на $$5$$ делится и $$12y=5x-40$$ . Так как $$12$$ на $$5$$ не делится, на $$5$$ делится $$y$$ : $y=5,\ 10,\ \ldots$

При $$y=5$$ : $$5x=40+60=100$$ , $$x=20$$ . Всего отвечено $$20+5=25$$ вопросов — ровно весь список, пропусков нет. Подходит.

При $$y=10$$ : $$5x=40+120=160$$ , $$x=32$$ — больше $$25$$ , не подходит; дальше только больше.

Значит, верных ответов $$20$$ .

Проверим себя: $20\cdot5-5\cdot12=100-60=40$ очков.

Проверка чётностью: штраф $$12y$$ всегда чётный, итог $$40$$ чётный, значит, $$5x$$ чётно и $$x$$ чётно — $$20$$ подходит.

Ответ

Другие задания по теме «Текстовые задачи повышенной трудности» (8)