Задание 21 Базовая Математика №00042845

Пусть верных ответов $x$, ошибок $y$. За верные ответы — $5x$ очков, за ошибки списано $8y$:

$$5x-8y=60,\qquad y\geq1,\qquad x+y\leq25.$$

Числа $5x$ и $60$ делятся на $5$, значит, и $8y=5x-60$ делится на $5$. Число $8$ на $5$ не делится, поэтому на $5$ делится $y$: $y=5,\ 10,\ \ldots$

При $y=5$: $5x=60+40=100$, $x=20$. Отвечено $20+5=25$ вопросов — весь список. Подходит.

При $y=10$: $5x=60+80=140$, $x=28$ — больше $25$, не подходит; при больших $y$ ещё больше.

Значит, верных ответов $20$.

Проверим себя: $20\cdot5-5\cdot8=100-40=60$ очков.

Почему ошибки идут пачками по пять: $5$ ошибок отнимают $5\cdot8=40$ очков — ровно столько, сколько дают $8$ верных ответов. Проверим пару разбиением: $5$ пар «верный + неверный» дают по $5-8=-3$, всего $-15$; оставшиеся $20-5=15$ верных дают $75$; $75-15=60$ — сходится.