ID: 00036097
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с бо́льшим числом рёбер?
Источник: ФИПИ
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на трёх рёбрах тетраэдра, выходящих из одной его вершины, поэтому секущая плоскость отсекает от этой вершины маленький тетраэдр (4 грани, 6 рёбер).
У оставшейся, большей части — 6 вершин (3 «уцелевших» плюс 3 новые точки $A$, $B$, $C$) и 5 граней (неразрезанная грань, три четырёхугольные грани и новая грань сечения).
По формуле Эйлера $B-P+Г=2$ у неё $6-P+5=2$, откуда $P=9$ рёбер — заметно больше, чем 6 рёбер у маленького тетраэдра.
Значит многогранник с бо́льшим числом рёбер — это бо́льшая часть, и у неё 5 граней.