ID: 00036088
Плоскость, проходящая через точки $A$, $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с бо́льшим числом вершин?
Источник: ФИПИ
Точки $A$, $B$ и $C$ лежат на трёх рёбрах тетраэдра, выходящих из одной его вершины, поэтому секущая плоскость отсекает от этой вершины маленький тетраэдр (4 вершины).
У оставшейся, большей части — 3 «уцелевших» вершины исходного тетраэдра плюс 3 новые точки $A$, $B$, $C$: итого 6 вершин — это больше, чем у маленького тетраэдра.
У этой большей части 5 граней (неразрезанная грань, три четырёхугольные грани от разреза и новая грань сечения); по формуле Эйлера $B-P+Г=2$ рёбра: $6-P+5=2$, откуда $P=9$.