ID: 00035822
Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $3\sqrt{6}$.
Источник: ФИПИ
В правильной четырёхугольной пирамиде основание — квадрат, а вершина проецируется точно в его центр.
Диагональ квадрата со стороной 6 равна $d=6\sqrt2$, а половина диагонали (расстояние от центра до вершины основания) — $3\sqrt2$.
Высота пирамиды, половина диагонали и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник: $h^2=(3\sqrt6)^2-(3\sqrt2)^2=54-18=36$, откуда $h=6$.
Объём пирамиды: $V=\dfrac13 S_{\text{осн}}h=\dfrac13\cdot6^2\cdot6=\dfrac13\cdot36\cdot6=72$.