Задание 18 ЕГЭ по математике №00043771

Вписанная в ромб окружность даёт много равных отрезков касательных. Через них хорды $FP$ и $PK$ привязываются к диагоналям ромба.

Пункт а. Отрезки касательных из вершины $A$ равны: $AF=AP$. Значит, треугольник $AFP$ равнобедренный. Диагональ $AC$ ромба — биссектриса угла $A$, а в равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине перпендикулярна основанию: $AC\perp FP$.

Диагонали ромба перпендикулярны: $BD\perp AC$. Две прямые $FP$ и $BD$ перпендикулярны одной прямой $AC$, значит, $FP\parallel BD$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Точно так же из вершины $D$: $DP=DK$, диагональ $BD$ — биссектриса угла $D$, поэтому $PK\perp BD$, то есть $PK\parallel AC$.

Точки $F$ и $K$ — точки касания с параллельными сторонами $AB$ и $CD$. Радиусы $OF$ и $OK$ перпендикулярны этим сторонам, поэтому $F$, $O$, $K$ лежат на одной прямой, и $FK$ — диаметр. Угол $FPK$ опирается на диаметр, он прямой:

$$FK=\sqrt{FP^2+PK^2}=\sqrt{36+64}=10.$$

Значит, радиус окружности $5$, а высота ромба (расстояние между $AB$ и $CD$) равна диаметру: $h=10$.

Найдём угол ромба. Пусть $\varphi=\angle ABD$ — угол между стороной $AB$ и диагональью $BD$. Прямая $FK$ перпендикулярна $AB$, прямая $FP$ параллельна $BD$, поэтому угол между ними $\angle KFP=90^\circ-\varphi$. Из прямоугольного треугольника $FPK$:

$$\cos\angle KFP=\dfrac{FP}{FK}=\dfrac{6}{10}=0{,}6\ \Longrightarrow\ \sin\varphi=0{,}6,\ \cos\varphi=0{,}8.$$

Угол $ABC$ ромба равен $2\varphi$ (диагональ — биссектриса), $\sin2\varphi=2\cdot0{,}6\cdot0{,}8=0{,}96$. Высота ромба $h=AB\cdot\sin\angle ABC$, откуда

$$AB=\dfrac{10}{0{,}96}=\dfrac{125}{12},\qquad S=AB\cdot h=\dfrac{125}{12}\cdot10=\dfrac{625}{6}.$$

Заметим: если бы угол $KFP$ оказался равным $\varphi$, а не $90^\circ-\varphi$, то $\sin\varphi$ и $\cos\varphi$ поменялись бы местами, но $\sin2\varphi=0{,}96$ остался бы тем же — ответ от этого не зависит.

Проверим через диагонали: $BD=2AB\cos\varphi$, $AC=2AB\sin\varphi$, $S=\dfrac12 AC\cdot BD=AB^2\sin2\varphi=\dfrac{15625}{144}\cdot0{,}96=\dfrac{625}{6}$. Совпало.