Задание 18 ЕГЭ по математике №00043783

Здесь две окружности вписаны в один и тот же угол $C$, а у прямых углов окружности ведут себя особенно просто. Центры обеих окружностей лежат на биссектрисе угла $C$: каждая окружность касается обеих сторон этого угла.

Пункт а. Значит, прямая $OO_1$ — биссектриса угла $C$, а $P$ — её точка на стороне $AB$. Отношение $AP:PB$ получим через площади. Точка $P$ равноудалена от сторон $CA$ и $CB$ (она на биссектрисе), пусть расстояние равно $d$. Тогда

$$\dfrac{S_{CAP}}{S_{CBP}}=\dfrac{\frac12 CA\cdot d}{\frac12 CB\cdot d}=\dfrac{CA}{CB}.$$

С другой стороны, у треугольников $CAP$ и $CBP$ общая высота из $C$ на прямую $AB$, поэтому их площади относятся как основания: $\dfrac{AP}{PB}$. Итак, $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{CA}{CB}=\cos\angle ACB$ (в прямоугольном треугольнике с прямым углом $A$). Что и требовалось доказать.

Пункт б. Обозначим $t=\operatorname{tg}\dfrac C2$. Центр окружности радиуса $\rho$, вписанной в угол $C$, вершина $C$ и точка касания образуют прямоугольный треугольник с углом $\dfrac C2$ при вершине $C$. Поэтому отрезок касательной из $C$ равен $\dfrac{\rho}{t}$.

Вершина $A$ — прямой угол, и большая окружность касается обеих его сторон. Центр, вершина $A$ и две точки касания образуют квадрат со стороной $R=5$, поэтому точка касания на $CA$ стоит в $5$ от $A$:

$$CA=\dfrac5t+5.$$

Касательная $DE$ параллельна $AB$, а $AB\perp AC$, поэтому $DE\perp AC$, и угол $E$ треугольника $CDE$ прямой. Малая окружность у этого прямого угла даёт такой же квадрат со стороной $r=3$: $CE=\dfrac3t+3$. А большая окружность вписана в прямой угол $AED$ — квадрат со стороной $5$, поэтому от точки касания на $CA$ до $E$ тоже $5$, и $AE=5+5=10$.

$$CA-CE=AE\iff\left(\dfrac5t+5\right)-\left(\dfrac3t+3\right)=10\iff\dfrac2t+2=10\iff t=\dfrac14.$$

Тогда $CA=5\cdot4+5=25$ и $\operatorname{tg}C=\dfrac{2t}{1-t^2}=\dfrac{2\cdot\frac14}{1-\frac1{16}}=\dfrac{1/2}{15/16}=\dfrac{8}{15}$. Катет $AB=CA\operatorname{tg}C=25\cdot\dfrac{8}{15}=\dfrac{40}{3}$.

$$S=\dfrac12\cdot\dfrac{40}{3}\cdot25=\dfrac{500}{3}.$$

Проверим: $\cos C=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}=\dfrac{15/16}{17/16}=\dfrac{15}{17}$, гипотенуза $BC=\dfrac{CA}{\cos C}=\dfrac{25\cdot17}{15}=\dfrac{85}{3}$. Площадь любого треугольника равна радиусу вписанной окружности, умноженному на полупериметр. Периметр $\dfrac{40}{3}+25+\dfrac{85}{3}=\dfrac{125}{3}+25=\dfrac{200}{3}$, полупериметр $\dfrac{100}{3}$, и $S=R\cdot\dfrac{100}{3}=5\cdot\dfrac{100}{3}=\dfrac{500}{3}$. Совпало с площадью через катеты.