Задание 18 ЕГЭ по математике №00043782

Обе окружности вписаны в один и тот же угол $C$ — с этого начинается и доказательство, и вычисление.

Пункт а. Окружность с центром $O$ вписана в треугольник $ABC$, значит, касается сторон угла $C$, и $O$ лежит на его биссектрисе. Окружность с центром $O_1$ вписана в треугольник $CDE$ и тоже касается сторон угла $C$, поэтому $O_1$ лежит на той же биссектрисе. Значит, прямая $OO_1$ — биссектриса угла $C$, и $P$ — точка пересечения биссектрисы с $AB$.

По свойству биссектрисы $\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{CA}{CB}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $A$ прямой) $\dfrac{CA}{CB}=\cos\angle ACB$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Касательная $DE$ параллельна $AB$, а $AB\perp AC$, поэтому $DE\perp AC$. Окружность лежит между параллельными касательными $AB$ и $DE$, расстояние между ними равно диаметру: $AE=2R=12$.

Треугольники $CDE$ и $CBA$ подобны ($DE\parallel AB$). Отношение радиусов вписанных окружностей равно коэффициенту подобия: $\dfrac{CE}{CA}=\dfrac rR=\dfrac46=\dfrac23$. С учётом $CE=CA-12$:

$$\dfrac{CA-12}{CA}=\dfrac23\ \Longrightarrow\ CA=36.$$

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен полусумме катетов минус половина гипотенузы: $R=\dfrac{AB+AC-BC}{2}$. Тогда $AB+36-BC=12$, то есть $BC=AB+24$. По теореме Пифагора:

$$(AB+24)^2=AB^2+36^2\ \Longrightarrow\ 48AB+576=1296\ \Longrightarrow\ AB=15.$$

$$S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC=\dfrac12\cdot15\cdot36=270.$$

Проверим: $BC=39$, $15^2+36^2=225+1296=1521=39^2$; радиус вписанной окружности $\dfrac{15+36-39}{2}=6$. Всё сходится.