Задание 18 ЕГЭ по математике №00043776

Отрезок $NP$ касается вписанной окружности, поэтому она оказывается вписанной и в четырёхугольник $ANPC$.

Пункт а. Вписанная окружность треугольника касается стороны $AC$, а также сторон $AB$ и $BC$ в точках, лежащих на отрезках $AN$ и $PC$ (отрезок $NP$ отделяет от окружности вершину $B$). Касается она и отрезка $NP$. Значит, окружность вписана в четырёхугольник $ANPC$.

У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны:

$$AN+PC=NP+AC.$$

$N$ и $P$ — середины сторон, поэтому $AN=\dfrac{AB}{2}$, $PC=\dfrac{BC}{2}$, а $NP$ — средняя линия: $NP=\dfrac{AC}{2}$. Подставим:

$$\dfrac{AB+BC}{2}=\dfrac{AC}{2}+AC\ \Longrightarrow\ AB+BC=3AC.$$

Периметр $AB+BC+AC=3AC+AC=4AC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Периметр $28$, поэтому $AC=7$, $AB+BC=21$. Обозначим $AB=c$, тогда $BC=21-c$.

По теореме косинусов для угла $A=120^\circ$ (сторона $BC$ лежит против него), $\cos120^\circ=-\dfrac12$:

$$(21-c)^2=c^2+49-2\cdot7c\cdot\left(-\dfrac12\right)=c^2+7c+49.$$

$$441-42c=7c+49\ \Longrightarrow\ 49c=392\ \Longrightarrow\ c=8.$$

Итак, $AB=8$, $BC=13$, $AC=7$. Площадь через две стороны и угол между ними:

$$S=\dfrac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin120^\circ=\dfrac12\cdot8\cdot7\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=14\sqrt3.$$

Проверим себя: сторона $BC=13$ против тупого угла — самая длинная, неравенство треугольника $7+8\gt13$ выполнено. И условие пункта а: $AN+PC=4+6{,}5=10{,}5$, $NP+AC=3{,}5+7=10{,}5$. Совпало.