Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043760

Дробь должна быть не меньше нуля. Числитель показательный, знаменатель логарифмический. Найдём знаки каждого и расставим их на оси.

ОДЗ. $x+1{,}5\gt0$, то есть $x\gt-1{,}5$; знаменатель не ноль.

Знаменатель. Разность квадратов:

$$\log_2^2(x+1{,}5)-4=\left(\log_2(x+1{,}5)-2\right)\left(\log_2(x+1{,}5)+2\right).$$

Он равен нулю при $\log_2(x+1{,}5)=\pm2$: $x+1{,}5=4$ (то есть $x=2{,}5$) или $x+1{,}5=\dfrac14$ (то есть $x=-1{,}25$). Отрицателен между ними: $-1{,}25\lt x\lt2{,}5$; положителен при $-1{,}5\lt x\lt-1{,}25$ и при $x\gt2{,}5$.

Числитель. $16-3^x$ убывает, равен нулю при $x=\log_3 16$, положителен левее, отрицателен правее.

Порядок точек. $\log_3 16$ и $2{,}5$: $3^{2{,}5}=9\sqrt3\approx15{,}6\lt16$, значит, $\log_3 16\gt2{,}5$. Порядок: $-1{,}5$, $-1{,}25$, $2{,}5$, $\log_3 16$.

Знаки дроби.

$-1{,}5\lt x\lt-1{,}25$: числитель $+$, знаменатель $+$ — подходит.

$-1{,}25\lt x\lt2{,}5$: числитель $+$, знаменатель $-$ — нет.

$2{,}5\lt x\le\log_3 16$: числитель $\ge0$, знаменатель $+$ — подходит.

$x\gt\log_3 16$: числитель $-$, знаменатель $+$ — нет.

Нули знаменателя выколоты, нуль числителя $\log_3 16$ входит.

Получаем $(-1{,}5;-1{,}25)\cup(2{,}5;\log_3 16]$.

Проверим себя на $x=-1{,}4$: $x+1{,}5=0{,}1$, $\log_2 0{,}1\approx-3{,}32$, знаменатель $\approx7{,}0\gt0$; числитель $16-3^{-1{,}4}\gt0$ — подходит. На $x=0$: знаменатель $\log_2^2 1{,}5-4\lt0$, числитель $15$ — дробь отрицательна, не подходит.