Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043738

Как и во многих неравенствах с «перекрёстными» степенями и логарифмами, главное — перенести всё в одну сторону и найти разложение на множители.

ОДЗ. $x\gt0$.

Подсказка к разложению. При $x=1$ обе части равны нулю (все логарифмы обнуляются). Значит, разумно искать множитель, который обращается в ноль при $x=1$.

Переносим всё влево и группируем по логарифмам:

$$\log_5x\left(3^x-3\cdot5^{x-1}\right)+\log_3x\left(5^x-5\cdot3^{x-1}\right)\gt0.$$

$3^x=3\cdot3^{x-1}$, поэтому первая скобка равна $3\left(3^{x-1}-5^{x-1}\right)$.

$5^x=5\cdot5^{x-1}$, поэтому вторая скобка равна $5\left(5^{x-1}-3^{x-1}\right)=-5\left(3^{x-1}-5^{x-1}\right)$.

$$\left(3^{x-1}-5^{x-1}\right)\left(3\log_5x-5\log_3x\right)\gt0.$$

Первый множитель. Запишем его как $5^{x-1}\left(\left(\dfrac35\right)^{x-1}-1\right)$. Множитель $5^{x-1}$ положителен. Основание $\dfrac35$ меньше единицы, поэтому $\left(\dfrac35\right)^{x-1}\gt1$ при $x\lt1$ и $\lt1$ при $x\gt1$. Итак, первый множитель положителен при $x\lt1$, отрицателен при $x\gt1$, равен нулю при $x=1$.

Второй множитель. По формуле перехода $\log_5x=\dfrac{\ln x}{\ln5}$, $\log_3x=\dfrac{\ln x}{\ln3}$:

$$3\log_5x-5\log_3x=\ln x\cdot\left(\dfrac{3}{\ln5}-\dfrac{5}{\ln3}\right).$$

Скобка отрицательна: $\ln5\gt\ln3$, поэтому $\dfrac{3}{\ln5}\lt\dfrac{3}{\ln3}\lt\dfrac{5}{\ln3}$. Значит, второй множитель имеет знак, противоположный $\ln x$: положителен при $x\lt1$, отрицателен при $x\gt1$.

Собираем. При $0\lt x\lt1$: $(+)(+)\gt0$ — подходит. При $x\gt1$: $(-)(-)\gt0$ — подходит. При $x=1$ произведение равно нулю, а неравенство строгое — не подходит.

Получаем $(0;1)\cup(1;+\infty)$.

Проверим себя на $x=2$: слева $9\log_5 2+25\log_3 2\approx9\cdot0{,}431+25\cdot0{,}631\approx19{,}6$; справа $3\cdot5\cdot\log_5 2+5\cdot3\cdot\log_3 2\approx6{,}46+9{,}46\approx15{,}9$. Неравенство верно.