Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043725

Перед нами дробь, которая должна быть не больше нуля. В числителе — степени тройки, в знаменателе — логарифмы. План простой: разобраться со знаком знаменателя, потом со знаком числителя и аккуратно учесть, где логарифм вообще существует.

Где неравенство имеет смысл. Логарифм берётся только от положительного числа, поэтому нужно $5^x-2\gt 0$, то есть $5^x\gt 2$. Функция $5^x$ возрастает, значит, это равносильно $x\gt\log_5 2$.

Знаменатель. Обозначим $u=\log_{\frac16}(5^x-2)$. Второе слагаемое — логарифм квадрата. Логарифм степени равен показателю, умноженному на логарифм основания степени; здесь $5^x-2\gt 0$, поэтому модуль не нужен:

$$\log_{\frac16}(5^x-2)^2=2\log_{\frac16}(5^x-2)=2u.$$

Тогда знаменатель равен

$$u^2+2u+1=(u+1)^2.$$

Квадрат никогда не бывает отрицательным. Значит, знаменатель положителен везде, кроме точки, где $u=-1$, — там он равен нулю, и такую точку брать нельзя.

Найдём эту точку. $\log_{\frac16}(5^x-2)=-1$ означает, что $5^x-2=\left(\dfrac16\right)^{-1}=6$, то есть $5^x=8$ и $x=\log_5 8$.

Числитель. Заметим, что $9^x=(3^x)^2$, а $3^{x+2}=3^2\cdot 3^x=9\cdot 3^x$. Пусть $t=3^x$, тогда числитель равен

$$t^2-9t+8=(t-1)(t-8).$$

Корни $t=1$ и $t=8$ (их сумма $9$, произведение $8$).

Собираем. Знаменатель при всех допустимых $x\neq\log_5 8$ положителен, поэтому дробь не больше нуля ровно тогда, когда числитель не больше нуля:

$$(t-1)(t-8)\le 0\ \Longleftrightarrow\ 1\le 3^x\le 8\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le\log_3 8.$$

Здесь мы воспользовались тем, что $3^x$ возрастает: $3^x\ge 1=3^0$ даёт $x\ge 0$, а $3^x\le 8$ даёт $x\le\log_3 8$.

Учитываем ограничения. Нужно одновременно: $0\le x\le\log_3 8$, $x\gt\log_5 2$ и $x\neq\log_5 8$. Расположим числа на оси.

$\log_5 2\gt 0$, потому что $2\gt 1$. Значит, левая граница — это $\log_5 2$, и она не входит.

$\log_5 8$ и $\log_3 8$: у них одинаковый аргумент $8$. По формуле перехода $\log_5 8=\dfrac{\ln 8}{\ln 5}$, $\log_3 8=\dfrac{\ln 8}{\ln 3}$; числитель одинаковый и положительный, а $\ln 5\gt\ln 3$, поэтому $\log_5 8\lt\log_3 8$. И $\log_5 8\gt\log_5 2$, так как $8\gt 2$. Итак, выколотая точка $\log_5 8$ лежит внутри промежутка, и её нужно убрать.

Получаем $\log_5 2\lt x\lt\log_5 8$ или $\log_5 8\lt x\le\log_3 8$.

Проверим себя на $x=1$ (это число между $\log_5 2\approx0{,}43$ и $\log_5 8\approx1{,}29$). Числитель: $9-27+8=-10$. Под логарифмом $5-2=3$, знаменатель — квадрат ненулевого числа, он положителен. Дробь отрицательна — неравенство выполнено, как и должно быть.