Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043726

Это дробное неравенство: дробь должна быть не больше нуля. В числителе — степени двойки, в знаменателе — логарифмы по основанию $\dfrac15$. Разберёмся с каждой частью отдельно.

Где всё определено. Под логарифмом должно стоять положительное число: $3^x-2\gt 0$, то есть $3^x\gt 2$ и $x\gt\log_3 2$.

Знаменатель. Важно не перепутать: $\log^2_{\frac15}(3^x-2)$ — это квадрат логарифма, а $\log_{\frac15}(3^x-2)^2$ — логарифм квадрата. Второй переписывается по свойству логарифма степени (на ОДЗ $3^x-2\gt0$, модуль не нужен):

$$\log_{\frac15}(3^x-2)^2=2\log_{\frac15}(3^x-2).$$

Пусть $u=\log_{\frac15}(3^x-2)$. Тогда знаменатель равен

$$u^2-2u+1=(u-1)^2.$$

Квадрат не бывает отрицательным, поэтому знаменатель положителен везде, кроме точки $u=1$, где он равен нулю.

Найдём эту точку: $\log_{\frac15}(3^x-2)=1$ значит $3^x-2=\dfrac15$, откуда $3^x=2{,}2$ и $x=\log_3 2{,}2$. Эту точку из ответа надо исключить.

Числитель. $4^x=(2^x)^2$, а $3\cdot 2^{x+1}=3\cdot2\cdot 2^x=6\cdot 2^x$. Пусть $t=2^x$:

$$t^2-6t+5=(t-1)(t-5).$$

Собираем. При допустимых $x\neq\log_3 2{,}2$ знаменатель положителен, значит, дробь не больше нуля тогда и только тогда, когда числитель не больше нуля:

$$(t-1)(t-5)\le 0\ \Longleftrightarrow\ 1\le 2^x\le 5\ \Longleftrightarrow\ 0\le x\le\log_2 5.$$

Переход от $t$ к $x$ законен, потому что $2^x$ возрастает: большему $x$ соответствует большее $2^x$, и знаки неравенств сохраняются.

Пересекаем с ограничениями. Нужно $0\le x\le\log_2 5$, $x\gt\log_3 2$ и $x\neq\log_3 2{,}2$.

$\log_3 2$ лежит между $0$ и $1$, потому что $1\lt 2\lt 3$. Значит, левая граница — $\log_3 2$, не включительно.

$\log_3 2{,}2$ тоже меньше $1$ (так как $2{,}2\lt 3$) и больше $\log_3 2$ (так как $2{,}2\gt 2$). А $\log_2 5\gt 2$, потому что $5\gt 4=2^2$. Значит, точка $\log_3 2{,}2$ лежит внутри промежутка $(\log_3 2;\log_2 5]$, и её выкалываем.

Итог: $\log_3 2\lt x\lt\log_3 2{,}2$ или $\log_3 2{,}2\lt x\le\log_2 5$.

Проверим себя на $x=2$. Числитель: $16-24+5=-3$. Под логарифмом $9-2=7$, $\log_{\frac15}7\neq 1$, так что знаменатель — квадрат ненулевого числа, он положителен. Дробь отрицательна — $x=2$ подходит, и он действительно лежит в ответе ($2\lt\log_2 5$).