Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043759

Дробь должна быть не больше нуля. В числителе — квадрат логарифма минус единица, в знаменателе — показательное выражение. Найдём, где каждый из них положителен, и применим метод интервалов.

ОДЗ. $x-1{,}5\gt0$, то есть $x\gt1{,}5$; знаменатель не ноль: $2^x\neq3$, $x\neq\log_2 3$.

Числитель. Разность квадратов:

$$\log_3^2(x-1{,}5)-1=\left(\log_3(x-1{,}5)-1\right)\left(\log_3(x-1{,}5)+1\right).$$

Числитель $\le0$, когда $-1\le\log_3(x-1{,}5)\le1$, то есть $\dfrac13\le x-1{,}5\le3$, или $\dfrac{11}{6}\le x\le4{,}5$. Вне этого отрезка числитель положителен.

Знаменатель. $2^x-3\gt0$ при $x\gt\log_2 3$, $\lt0$ при $x\lt\log_2 3$.

Порядок точек. $1{,}5$, $\log_2 3$, $\dfrac{11}{6}$, $4{,}5$.

$\log_2 3\gt1{,}5$: $2^{1{,}5}=2\sqrt2\approx2{,}83\lt3$.

$\log_2 3\lt\dfrac{11}{6}$: сравним $2^{\frac{11}{6}}$ и $3$, возведя в шестую степень: $2^{11}=2048$, $3^6=729$, $2048\gt729$. Значит, $2^{\frac{11}{6}}\gt3$.

Знаки дроби.

$1{,}5\lt x\lt\log_2 3$: здесь $x-1{,}5\lt\dfrac13$, логарифм меньше $-1$, числитель $+$; знаменатель $-$ — дробь отрицательна, подходит.

$\log_2 3\lt x\lt\dfrac{11}{6}$: числитель $+$, знаменатель $+$ — нет.

$\dfrac{11}{6}\le x\le4{,}5$: числитель $\le0$, знаменатель $+$ — подходит.

$x\gt4{,}5$: оба $+$ — нет.

Получаем $(1{,}5;\log_2 3)\cup\left[\dfrac{11}{6};4{,}5\right]$.

Проверим себя на $x=1{,}55$: $\log_3 0{,}05\approx-2{,}73$, числитель $\approx6{,}4$; $2^{1{,}55}\approx2{,}93\lt3$, знаменатель отрицателен — дробь отрицательна, подходит.