Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00043737

В неравенстве перемешаны степени $2^x$, $3^x$ и логарифмы $\log_2x$, $\log_3x$. Решать «в лоб» тут нечего — нужно перенести всё в одну сторону и разложить на множители, а потом разобраться со знаком каждого множителя.

ОДЗ. Логарифмы определены при $x\gt0$.

Переносим и группируем. Соберём слагаемые с $\log_3x$ вместе и с $\log_2x$ вместе:

$$\log_3x\cdot\left(2^x-2\cdot3^{x-1}\right)+\log_2x\cdot\left(3^x-3\cdot2^{x-1}\right)\le0.$$

В первой скобке вынесем $2$: $2^x=2\cdot2^{x-1}$, поэтому $2^x-2\cdot3^{x-1}=2\left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)$.

Во второй вынесем $3$: $3^x=3\cdot3^{x-1}$, поэтому $3^x-3\cdot2^{x-1}=3\left(3^{x-1}-2^{x-1}\right)=-3\left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)$.

Теперь общий множитель виден:

$$\left(2^{x-1}-3^{x-1}\right)\left(2\log_3x-3\log_2x\right)\le0.$$

Знак первого множителя. При $x=1$ обе степени равны $1$, разность равна нулю. Если $x\gt1$, показатель $x-1$ положителен, и $3^{x-1}\gt2^{x-1}$ (большее основание в положительной степени даёт больше) — разность отрицательна. Если $x\lt1$, показатель отрицателен, и всё наоборот: $2^{x-1}\gt3^{x-1}$, разность положительна.

Знак второго множителя. При $x=1$ оба логарифма равны нулю.

Если $x\gt1$, оба логарифма положительны, и $\log_2x\gt\log_3x$: чтобы получить одно и то же число $x$, двойку приходится возводить в большую степень, чем тройку. Тогда $3\log_2x\gt3\log_3x\gt2\log_3x$, и второй множитель отрицателен.

Если $0\lt x\lt1$, оба логарифма отрицательны, и $\log_2x\lt\log_3x\lt0$ (по модулю логарифм по основанию $2$ больше). Тогда $3\log_2x\lt3\log_3x\lt2\log_3x$ — последнее, потому что $\log_3x\lt0$. Второй множитель положителен.

Собираем.

$0\lt x\lt1$: $(+)\cdot(+)\gt0$ — не подходит.

$x\gt1$: $(-)\cdot(-)\gt0$ — не подходит.

$x=1$: произведение равно нулю, неравенство нестрогое — подходит.

Единственное решение — $x=1$.

Проверим себя подстановкой $x=2$: слева $4\log_3 2+9\cdot1\approx4\cdot0{,}63+9=11{,}52$; справа $2\cdot3\cdot\log_3 2+3\cdot2\cdot1\approx3{,}79+6=9{,}79$. Левая часть больше — неравенство не выполнено. При $x=1$ обе части равны нулю — выполнено.