Логарифмы и… — Задание 16 ЕГЭ по математике №00041794

Числитель зависит от $3^{x}$, знаменатель — логарифм от $2^{x}$. План: разложить числитель на множители, упростить знаменатель и сравнить знаки множителей.

Область допустимых значений. Логарифм $\log_5\left(2^{x}\right)$ определён при всех $x$, ведь $2^{x}\gt 0$ всегда. По свойству логарифма степени $\log_5\left(2^{x}\right)=x\log_5 2$, а $\log_5 2\gt 0$ (так как $2\gt 1$). Знаменатель обращается в ноль только при $x=0$, поэтому $x\neq 0$.

Числитель. Так как $9^{x}=\left(3^{x}\right)^{2}$, числитель — квадратный трёхчлен относительно $t=3^{x}$: $t^{2}-4t+3$. Его корни $t=1$ и $t=3$ (сумма $4$, произведение $3$), поэтому

$$9^{x}-4\cdot 3^{x}+3=\left(3^{x}-1\right)\left(3^{x}-3\right).$$

Неравенство переписывается так:

$$\dfrac{\left(3^{x}-1\right)\left(3^{x}-3\right)}{x\log_5 2}\le 0.$$

Сравним знаки. Функция $3^{x}$ возрастает и равна $1$ при $x=0$. Значит $3^{x}-1\gt 0$ при $x\gt 0$ и $3^{x}-1\lt 0$ при $x\lt 0$ — множитель $3^{x}-1$ всегда того же знака, что и $x$. Поэтому при $x\neq 0$ дробь $\dfrac{3^{x}-1}{x}$ положительна, а $\log_5 2$ тоже положителен.

Остаётся один множитель, который может менять знак, — $3^{x}-3$. Неравенство равносильно системе

$$3^{x}-3\le 0,\qquad x\neq 0.$$

Из $3^{x}\le 3=3^{1}$ (основание больше единицы, знак сохраняется) получаем $x\le 1$. Выкалываем $x=0$: $(-\infty;0)\cup(0;1]$.

Обратите внимание: при $x=0$ ноль и в числителе, и в знаменателе, но дробь там не определена — точку нужно выколоть, а не включить.

Проверим себя при $x=-1$: числитель $\dfrac19-\dfrac43+3=\dfrac{1-12+27}{9}=\dfrac{16}{9}\gt 0$, знаменатель $\log_5\dfrac12\lt 0$, дробь отрицательна — точка в ответе, как и должно быть. При $x=2$: числитель $81-36+3=48\gt 0$, знаменатель $\log_5 4\gt 0$ — дробь положительна, и $x=2$ в ответ не входит.