Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043701

Призма правильная шестиугольная. Плоскость $\alpha$ задана точками $K$, $D_1$ и направлением $DF_1$, поэтому удобнее всего записывать её точки векторами. Пункт а должен выполняться при любых размерах, так что сначала ведём выкладки с буквами.

Пункт а. Начало координат — в центре нижнего основания, сторона $a$, высота $h$. Вершины: $A(a;0;0)$, $B\left(\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)$, $C\left(-\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)$, $D(-a;0;0)$, $E\left(-\dfrac a2;-\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)$, $F\left(\dfrac a2;-\dfrac{a\sqrt3}{2};0\right)$, верхние — те же с $z=h$.

$CK:KC_1=3:1$, поэтому $K$ на высоте $\dfrac34h$: $K\left(-\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};\dfrac{3h}{4}\right)$. Векторы:

$$\overrightarrow{D_1K}=\left(\dfrac a2;\dfrac{a\sqrt3}{2};-\dfrac h4\right),\qquad \overrightarrow{DF_1}=\left(\dfrac{3a}{2};-\dfrac{a\sqrt3}{2};h\right).$$

Точки плоскости $\alpha$: $D_1+s\cdot\overrightarrow{D_1K}+t\cdot\overrightarrow{DF_1}$. На верхнем основании аппликата равна $h$: $h-\dfrac{sh}{4}+th=h$, то есть $t=\dfrac s4$. Тогда

$$x=-a+\dfrac{sa}{2}+\dfrac s4\cdot\dfrac{3a}{2}=-a+\dfrac{7as}{8},\qquad y=\dfrac{sa\sqrt3}{2}-\dfrac s4\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3as}{8}.$$

Ребро $B_1C_1$ лежит на прямой $y=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, $z=h$: $\dfrac{3\sqrt3as}{8}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$, $s=\dfrac43$, $x=-a+\dfrac{7a}{6}=\dfrac a6$. Абсциссы $B_1$ и $C_1$ равны $\dfrac a2$ и $-\dfrac a2$, так что точка $N\left(\dfrac a6;\dfrac{a\sqrt3}{2};h\right)$ лежит на ребре и

$$B_1N=\dfrac a2-\dfrac a6=\dfrac a3,\qquad NC_1=\dfrac a6+\dfrac a2=\dfrac{2a}{3},\qquad B_1N:NC_1=1:2.$$

Что и требовалось доказать.

Пункт б. Теперь $a=\sqrt{10}$, $h=4$: $\overrightarrow{D_1K}=\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2};\dfrac{\sqrt{30}}{2};-1\right)$, $\overrightarrow{DF_1}=\left(\dfrac{3\sqrt{10}}{2};-\dfrac{\sqrt{30}}{2};4\right)$.

Нормаль $\alpha$ перпендикулярна обоим векторам. Подходит $\vec n=(3\sqrt3;\,-7;\,-2\sqrt{30})$. Проверка:

$$\vec n\cdot\overrightarrow{D_1K}=\dfrac{3\sqrt{30}}{2}-\dfrac{7\sqrt{30}}{2}+2\sqrt{30}=0,\qquad \vec n\cdot\overrightarrow{DF_1}=\dfrac{9\sqrt{30}}{2}+\dfrac{7\sqrt{30}}{2}-8\sqrt{30}=0.$$

$|\vec n|=\sqrt{27+49+120}=\sqrt{196}=14$.

Грань $EFF_1$ лежит в плоскости $y=-\dfrac{a\sqrt3}{2}$ (у $E$ и $F$ одинаковая ордината), её нормаль $\vec m=(0;1;0)$. Угол между плоскостями — через модуль косинуса угла между нормалями:

$$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec m|}{|\vec n|\cdot|\vec m|}=\dfrac{7}{14}=\dfrac12,\qquad\varphi=60^\circ.$$

Проверка пункта а на числах: при $a=\sqrt{10}$ точка $N\left(\dfrac{\sqrt{10}}{6};\dfrac{\sqrt{30}}{2};4\right)$; вектор $\overrightarrow{D_1N}=\left(\dfrac{7\sqrt{10}}{6};\dfrac{\sqrt{30}}{2};0\right)$, и $\vec n\cdot\overrightarrow{D_1N}=\dfrac{7\sqrt{30}}{2}-\dfrac{7\sqrt{30}}{2}=0$ — точка $N$ действительно в плоскости $\alpha$.