Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043696

Обе плоскости — $ACB_1$ и $\alpha$ — содержат прямые, параллельные $AC$ ($AC$ и $A_1C_1$). Значит, всё самое важное видно в сечении призмы плоскостью, перпендикулярной $AC$: там обе плоскости превращаются в отрезки.

Пункт а. Все размеры пропорциональны стороне основания, отношения и углы от неё не зависят. Возьмём $AB=4$, тогда $AA_1=1{,}25\cdot4=5$.

Пусть $M$ и $M_1$ — середины $AC$ и $A_1C_1$. Медиана $BM$ правильного треугольника — его высота: $BM\perp AC$, $BM=\dfrac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3$. Ещё $MM_1\perp AC$ (боковое ребро). Значит, $AC$ перпендикулярна плоскости $\pi=BB_1M_1M$; это прямоугольник со сторонами $MB=2\sqrt3$ и $BB_1=5$.

Плоскость $ACB_1$ пересекает $\pi$ по отрезку $MB_1$. Плоскость $\alpha$ пересекает $\pi$ по отрезку $M_1T$, где $T$ — точка на $BB_1$. Обе плоскости содержат прямые, перпендикулярные $\pi$ ($AC$ и $A_1C_1$), поэтому угол между ними виден в плоскости $\pi$ как угол между $MB_1$ и $M_1T$. Условие $\alpha\perp ACB_1$ означает $M_1T\perp MB_1$.

Введём в прямоугольнике координаты: $M(0;0)$, $B(2\sqrt3;0)$, $B_1(2\sqrt3;5)$, $M_1(0;5)$, $T(2\sqrt3;t)$. Векторы $\overrightarrow{MB_1}=(2\sqrt3;5)$, $\overrightarrow{M_1T}=(2\sqrt3;t-5)$. Перпендикулярность:

$$2\sqrt3\cdot2\sqrt3+5(t-5)=0\quad\Rightarrow\quad 12+5t-25=0\quad\Rightarrow\quad t=\dfrac{13}{5}.$$

Значит, $BT=\dfrac{13}{5}$, $TB_1=5-\dfrac{13}{5}=\dfrac{12}{5}$, и $B_1T:TB=12:13$ — плоскость $\alpha$ делит $BB_1$ в отношении $12:13$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Плоскости $BCC_1$ и $\alpha$ имеют общие точки $C_1$ и $T$ (точка $T$ лежит на ребре $BB_1$ грани $BCC_1B_1$). Угол между плоскостями найдём через нормали.

Координаты в пространстве: $A(0;0;0)$, $C(4;0;0)$, $B(2;2\sqrt3;0)$, верхние вершины выше на $5$. $A_1(0;0;5)$, $C_1(4;0;5)$, $T\left(2;2\sqrt3;\dfrac{13}{5}\right)$.

Нормаль $\vec n_1=(p;q;s)$ плоскости $\alpha$ перпендикулярна $\overrightarrow{A_1C_1}=(4;0;0)$, значит, $p=0$; и перпендикулярна $\overrightarrow{A_1T}=\left(2;2\sqrt3;-\dfrac{12}{5}\right)$: $2\sqrt3q-\dfrac{12}{5}s=0$. При $s=5\sqrt3$ получаем $q=\dfrac{12\cdot5\sqrt3}{5\cdot2\sqrt3}=6$: $\vec n_1=(0;6;5\sqrt3)$, $|\vec n_1|=\sqrt{36+75}=\sqrt{111}$.

Грань $BCC_1$ вертикальна, её нормаль горизонтальна и перпендикулярна $\overrightarrow{BC}=(2;-2\sqrt3;0)$: $\vec n_2=(\sqrt3;1;0)$, $|\vec n_2|=2$ (проверка: $2\sqrt3-2\sqrt3=0$).

$$\cos\varphi=\dfrac{|0\cdot\sqrt3+6\cdot1+5\sqrt3\cdot0|}{\sqrt{111}\cdot2}=\dfrac{3}{\sqrt{111}}=\dfrac{3\sqrt{111}}{111}=\dfrac{\sqrt{111}}{37}.$$

Проверим нормаль $\vec n_1$: $\vec n_1\cdot\overrightarrow{A_1T}=0+6\cdot2\sqrt3+5\sqrt3\cdot\left(-\dfrac{12}{5}\right)=12\sqrt3-12\sqrt3=0$. И угол разумный: $\cos\varphi\approx0{,}28$, около $74^\circ$.