Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043697

Решим задачу координатами: плоскость $\alpha$ проходит через $A_1C_1$ и пересекает ребро $BB_1$ в неизвестной точке. Условие перпендикулярности плоскостей даст уравнение на её высоту, а потом той же нормалью воспользуемся для угла.

Пункт а. Размеры пропорциональны стороне, отношение и угол от неё не зависят. Возьмём $AB=2$, $AA_1=1{,}5\cdot2=3$.

Координаты: начало в $A$, ось $Ox$ по $AC$, ось $Oz$ по $AA_1$; вершина $B$ стоит над серединой $AC$ на расстоянии высоты треугольника $\sqrt3$: $A(0;0;0)$, $C(2;0;0)$, $B(1;\sqrt3;0)$, $A_1(0;0;3)$, $C_1(2;0;3)$, $B_1(1;\sqrt3;3)$.

Плоскость $\alpha$ содержит $A_1C_1$; её точку на $BB_1$ обозначим $T(1;\sqrt3;t)$.

Нормаль плоскости $ACB_1$: она перпендикулярна $\overrightarrow{AC}=(2;0;0)$, значит, имеет вид $(0;q;s)$, и перпендикулярна $\overrightarrow{AB_1}=(1;\sqrt3;3)$: $\sqrt3q+3s=0$. Берём $\vec m=(0;\sqrt3;-1)$.

Нормаль плоскости $\alpha$: перпендикулярна $\overrightarrow{A_1C_1}=(2;0;0)$ — вид $(0;q;s)$ — и $\overrightarrow{A_1T}=(1;\sqrt3;t-3)$: $\sqrt3q+(t-3)s=0$. Берём $\vec n=(0;\,3-t;\,\sqrt3)$.

Плоскости перпендикулярны, когда перпендикулярны их нормали:

$$\vec m\cdot\vec n=\sqrt3(3-t)-\sqrt3=0\quad\Rightarrow\quad t=2.$$

Значит, $BT=2$, $TB_1=1$, и $B_1T:TB=1:2$ — плоскость делит ребро $BB_1$ в отношении $1:2$, считая от $B_1$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. При $t=2$ нормаль $\alpha$: $\vec n=(0;1;\sqrt3)$, $|\vec n|=2$. Проверим её: $\vec n\cdot\overrightarrow{A_1C_1}=0$, $\vec n\cdot\overrightarrow{A_1T}=\vec n\cdot(1;\sqrt3;-1)=\sqrt3-\sqrt3=0$.

Грань $BCC_1$ вертикальна; её нормаль горизонтальна и перпендикулярна $\overrightarrow{BC}=(1;-\sqrt3;0)$: $\vec k=(\sqrt3;1;0)$, $|\vec k|=2$.

$$\cos\varphi=\dfrac{|\vec n\cdot\vec k|}{|\vec n|\cdot|\vec k|}=\dfrac{|0+1+0|}{2\cdot2}=\dfrac14.$$

Угол между плоскостями равен $\arccos\dfrac14$.

Проверим координаты основания: $AB=\sqrt{1+3}=2$, $BC=\sqrt{1+3}=2$, $AC=2$ — треугольник правильный, всё верно.