Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043699

Решим задачу координатами. Размеры пропорциональны стороне основания, а ни положение точки, ни угол от масштаба не зависят — возьмём сторону $1$ и высоту $SO=3$.

Пункт а. Начало координат — в центре основания $O$. Вершины правильного шестиугольника со стороной $1$ лежат на окружности радиуса $1$ через каждые $60^\circ$:

$C(1;0;0)$, $B\left(\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2};0\right)$, $A\left(-\dfrac12;\dfrac{\sqrt3}{2};0\right)$, $F(-1;0;0)$, $E\left(-\dfrac12;-\dfrac{\sqrt3}{2};0\right)$, $D\left(\dfrac12;-\dfrac{\sqrt3}{2};0\right)$, $S(0;0;3)$.

$BD^{2}=0+\left(\sqrt3\right)^{2}+0=3$. Точка ребра $SC$: $N=S+t\cdot\overrightarrow{SC}=(t;\,0;\,3-3t)$, $0\leqslant t\leqslant 1$. Из симметрии ($B$ и $D$ отличаются только знаком ординаты, а у $N$ ордината $0$) $NB=ND$, поэтому треугольник равносторонний, когда $NB^{2}=3$:

$$\left(t-\dfrac12\right)^{2}+\dfrac34+(3-3t)^{2}=3\quad\Leftrightarrow\quad 10t^{2}-19t+7=0.$$

$D=361-280=81$, $t=\dfrac{19\pm9}{20}$: $t=\dfrac12$ или $t=\dfrac75$. Значение $\dfrac75\gt1$ — точка лежит на продолжении ребра за $C$. На ребре подходит только $t=\dfrac12$, то есть $N$ — середина $SC$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. $N\left(\dfrac12;0;\dfrac32\right)$, её проекция на основание — $H\left(\dfrac12;0;0\right)$, высота $NH=\dfrac32$.

Плоскость $FDN$ пересекает основание по прямой $FD$. Если $HP$ — перпендикуляр из $H$ на $FD$, то по теореме о трёх перпендикулярах $NP\perp FD$, и тангенс искомого угла равен $\dfrac{NH}{HP}$.

Уравнение прямой $FD$ в плоскости основания: направление $\overrightarrow{FD}=\left(\dfrac32;-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)$, нормаль $(1;\sqrt3)$, через $F(-1;0)$: $x+\sqrt3y+1=0$ (проверка $D$: $\dfrac12-\dfrac32+1=0$).

$$HP=\dfrac{\left|\frac12+0+1\right|}{\sqrt{1+3}}=\dfrac{3/2}{2}=\dfrac34,\qquad \operatorname{tg}\varphi=\dfrac{3/2}{3/4}=2.$$

Угол равен $\operatorname{arctg}2$.

Проверим расстояние иначе. $FD$ — короткая диагональ, она перпендикулярна прямой $BE$ (в треугольнике $FOD$ с углом $120^\circ$ биссектриса $OE$ — высота), и расстояние от $O$ до $FD$ равно $OF\cdot\cos60^\circ=\dfrac12$. Точка $H$ сдвинута от $O$ на $\dfrac12$ вдоль $OC$, а $OC$ составляет $60^\circ$ с направлением $OB$ — от $FD$ прочь. Добавка $\dfrac12\cos60^\circ=\dfrac14$, итого $\dfrac12+\dfrac14=\dfrac34$. Совпало.