Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043691

Ребро $SA$ — высота, в основании квадрат. Сначала найдём, где точка $N$ и где прямая $a$ встречает диагональ $AC$; отношение на ребре $SA$ тогда получится по теореме о пропорциональных отрезках. В пункте б угол между скрещивающимися прямыми найдём векторами.

Пункт а. Пусть $O$ — центр квадрата. В треугольнике $SBD$ отрезки $DK$ и $SO$ — медианы ($K$ — середина $SB$, $O$ — середина $BD$). Их общая точка лежит на $DK$ и в плоскости $SAC$ (ведь $SO$ в ней лежит), а прямая $DK$ пересекает эту плоскость только в одной точке. Значит, $N$ — точка пересечения медиан, и $ON=\dfrac13SO$.

Прямая $a$ лежит в плоскости $SAC$ (проходит через $N$ параллельно $SC$). Пусть она пересекает $AC$ в точке $P$. В треугольнике $SOC$ отрезок $NP\parallel SC$, поэтому $\dfrac{OP}{OC}=\dfrac{ON}{OS}=\dfrac13$. Если $OA=OC=m$, то $AP=m+\dfrac m3=\dfrac{4m}{3}$, а $AC=2m$, то есть $\dfrac{AP}{AC}=\dfrac23$.

Прямая $a$ идёт от $P$ в другую сторону и пересекает ребро $SA$ в точке $Q$. В треугольнике $SAC$ прямая $PQ$ параллельна стороне $SC$, и по теореме о пропорциональных отрезках

$$\dfrac{AQ}{AS}=\dfrac{AP}{AC}=\dfrac23.$$

Значит, $AQ=\dfrac23AS$, $SQ=\dfrac13AS$, и $SQ:QA=1:2$ — прямая $a$ делит ребро $SA$ в отношении $1:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Координаты: начало в $A$, оси по $AB$, $AD$, $AS$. $A(0;0;0)$, $B(2\sqrt2;0;0)$, $C(2\sqrt2;2\sqrt2;0)$, $D(0;2\sqrt2;0)$, $S(0;0;3)$, середина $SB$ — $K\left(\sqrt2;0;\dfrac32\right)$.

$$\overrightarrow{DK}=\left(\sqrt2;\,-2\sqrt2;\,\dfrac32\right),\qquad \overrightarrow{SC}=(2\sqrt2;\,2\sqrt2;\,-3).$$

Заметь: обе горизонтальные координаты $\overrightarrow{SC}$ равны стороне квадрата $2\sqrt2$, а не его диагонали.

Скалярное произведение: $\sqrt2\cdot2\sqrt2-2\sqrt2\cdot2\sqrt2+\dfrac32\cdot(-3)=4-8-4{,}5=-8{,}5$.

Длины: $|\overrightarrow{DK}|=\sqrt{2+8+2{,}25}=\sqrt{12{,}25}=3{,}5$, $|\overrightarrow{SC}|=\sqrt{8+8+9}=5$.

$$\cos\varphi=\dfrac{|-8{,}5|}{3{,}5\cdot5}=\dfrac{8{,}5}{17{,}5}=\dfrac{17}{35}.$$

Значит, угол равен $\arccos\dfrac{17}{35}$.

Проверим длину $DK$ без координат: проекция $K$ на основание — середина $AB$, назовём её $K'$. Тогда $KK'=\dfrac{SA}{2}=1{,}5$, $DK'^{2}=AD^{2}+AK'^{2}=8+2=10$, и $DK^{2}=10+2{,}25=12{,}25$, $DK=3{,}5$. Совпало.