Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042134

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. В треугольнике $SAB$: $SA^2+AB^2=28+100=128=SB^2$. По теореме, обратной теореме Пифагора, $\angle SAB=90^\circ$.

Шаг 2. В треугольнике $SAD$ ($AD=BC=2\sqrt{11}$): $SA^2+AD^2=28+44=72=SD^2$, значит, $\angle SAD=90^\circ$.

Шаг 3. Ребро $SA$ перпендикулярно пересекающимся прямым $AB$ и $AD$, поэтому $SA\perp(ABC)$. Плоскость $SAC$ содержит прямую $SA$, перпендикулярную основанию, следовательно, $(SAC)\perp(ABC)$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Перенесём прямую $BD$ параллельно так, чтобы она прошла через $C$. Проведём $CT\parallel BD$ до пересечения с прямой $AB$ в точке $T$. В четырёхугольнике $BDCT$ противоположные стороны параллельны ($BT\parallel DC$, $CT\parallel DB$), это параллелограмм, поэтому

$$BT=DC=10,\qquad CT=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{100+44}=12.$$

Угол между прямыми $SC$ и $BD$ равен углу между $SC$ и $CT$.

Шаг 2. Стороны треугольника $SCT$. $AT=AB+BT=20$. По пункту а $SA$ перпендикулярно основанию, значит, треугольники $SAT$ и $SAC$ прямоугольные:

$$ST^2=SA^2+AT^2=28+400=428,\qquad SC^2=SA^2+AC^2=28+144=172.$$

Шаг 3. Теорема косинусов в треугольнике $SCT$:

$$\cos\angle SCT=\dfrac{SC^2+CT^2-ST^2}{2\cdot SC\cdot CT}=\dfrac{172+144-428}{2\cdot\sqrt{172}\cdot12}=-\dfrac{112}{24\sqrt{172}}.$$

Шаг 4. Угол $SCT$ тупой, а угол между прямыми — острый, смежный с ним. Его косинус — модуль найденного числа. Упростим, учитывая $\sqrt{172}=2\sqrt{43}$:

$$\cos\varphi=\dfrac{112}{24\cdot2\sqrt{43}}=\dfrac{112}{48\sqrt{43}}=\dfrac{7}{3\sqrt{43}}=\dfrac{7\sqrt{43}}{129}.$$

Значит, $\varphi=\arccos\dfrac{7\sqrt{43}}{129}$.

Проверим себя векторами: при $A(0;0;0)$, $B(10;0;0)$, $D(0;2\sqrt{11};0)$, $S(0;0;2\sqrt7)$ имеем $\overrightarrow{SC}=(10;2\sqrt{11};-2\sqrt7)$, $\overrightarrow{BD}=(-10;2\sqrt{11};0)$, скалярное произведение $-100+44=-56$, и $\cos\varphi=\dfrac{56}{\sqrt{172}\cdot12}=\dfrac{7\sqrt{43}}{129}$. Совпало.