Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00043690

Пирамида с квадратом в основании, а высота — само ребро $SA$. Сначала поймём, где находится точка $N$, потом проведём через неё прямую, параллельную $SC$. Угол в пункте б — между скрещивающимися прямыми, его удобно искать векторами.

Пункт а. Пусть $O$ — центр квадрата, точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Отрезок $SO$ лежит в плоскости $SAC$ (обе его точки там).

Рассмотрим треугольник $SBD$. Точка $K$ — середина $SB$, точка $O$ — середина $BD$. Значит, $DK$ и $SO$ — две медианы этого треугольника. Медианы пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении $2:1$, считая от вершины.

Точка пересечения медиан лежит на $DK$ и на $SO$, то есть в плоскости $SAC$. Прямая $DK$ не лежит в плоскости $SAC$ (точка $D$ ей не принадлежит), поэтому общая точка у них одна — это и есть $N$. Итак, $N$ — точка пересечения медиан треугольника $SBD$ и $SN:NO=2:1$, то есть $ON=\dfrac13 SO$.

Прямая $a$ проходит через $N$ параллельно $SC$, поэтому лежит в плоскости $SAC$ и пересекает $AC$ в некоторой точке $P$. В треугольнике $SOC$ прямая $NP$ параллельна стороне $SC$, значит, треугольники $ONP$ и $OSC$ подобны:

$$\dfrac{OP}{OC}=\dfrac{ON}{OS}=\dfrac13.$$

Обозначим $OC=OA=m$. Тогда $OP=\dfrac m3$, точка $P$ лежит между $O$ и $C$, и

$$AP=AO+OP=m+\dfrac m3=\dfrac{4m}{3},\qquad PC=m-\dfrac m3=\dfrac{2m}{3}.$$

Значит, $PC:AP=1:2$ — прямая $a$ делит диагональ $AC$ в отношении $1:2$. Что и требовалось доказать.

Пункт б. Прямые $DK$ и $SC$ скрещиваются, общей точки у них нет, поэтому угол найдём через направляющие векторы. Введём координаты: начало в $A$, ось $Ox$ по $AB$, ось $Oy$ по $AD$, ось $Oz$ по $AS$ — эти три ребра попарно перпендикулярны.

$A(0;0;0)$, $B(2\sqrt3;0;0)$, $C(2\sqrt3;2\sqrt3;0)$, $D(0;2\sqrt3;0)$, $S(0;0;6)$. Точка $K$ — середина $SB$, её координаты — полусуммы: $K(\sqrt3;0;3)$.

$$\overrightarrow{DK}=(\sqrt3;\,-2\sqrt3;\,3),\qquad \overrightarrow{SC}=(2\sqrt3;\,2\sqrt3;\,-6).$$

Скалярное произведение: $\sqrt3\cdot2\sqrt3+(-2\sqrt3)\cdot2\sqrt3+3\cdot(-6)=6-12-18=-24$.

Длины: $|\overrightarrow{DK}|=\sqrt{3+12+9}=\sqrt{24}=2\sqrt6$, $|\overrightarrow{SC}|=\sqrt{12+12+36}=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$.

Угол между прямыми не бывает тупым, поэтому берём модуль скалярного произведения:

$$\cos\varphi=\dfrac{24}{2\sqrt6\cdot2\sqrt{15}}=\dfrac{24}{4\sqrt{90}}=\dfrac{6}{3\sqrt{10}}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{10}}{5}.$$

Значит, $\varphi=\arccos\dfrac{\sqrt{10}}{5}$.

Проверим пункт а координатами. Плоскость $SAC$ — это точки, у которых $x=y$. Точка прямой $DK$: $D+t\cdot\overrightarrow{DK}=(\sqrt3t;\,2\sqrt3-2\sqrt3t;\,3t)$; условие $\sqrt3t=2\sqrt3-2\sqrt3t$ даёт $t=\dfrac23$ и $N\left(\dfrac{2\sqrt3}{3};\dfrac{2\sqrt3}{3};2\right)$ — высота $2$ составляет треть от $SA=6$, как и должно быть для точки пересечения медиан.