Угол между… — Задание 15 ЕГЭ по математике №00042133

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Проверим треугольник $SAB$: $SA^2+AB^2=21+64=85=SB^2$. По теореме, обратной теореме Пифагора, угол $SAB$ прямой: $SA\perp AB$.

Шаг 2. Треугольник $SAD$: $AD=BC=6$, $SA^2+AD^2=21+36=57=SD^2$. Значит, $SA\perp AD$.

Шаг 3. Прямая $SA$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AB$ и $AD$ плоскости основания, поэтому $SA\perp(ABC)$. Плоскость $SAC$ проходит через перпендикуляр $SA$ к основанию, значит, $(SAC)\perp(ABC)$. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Шаг 1. Введём координаты: $A(0;0;0)$, ось $Ox$ по $AB$, ось $Oy$ по $AD$, ось $Oz$ по $AS$ (по пункту а эти три прямые попарно перпендикулярны). Тогда

$$B(8;0;0),\quad C(8;6;0),\quad D(0;6;0),\quad S(0;0;\sqrt{21}).$$

Шаг 2. Направляющие векторы прямых:

$$\overrightarrow{SC}=(8;6;-\sqrt{21}),\quad |\overrightarrow{SC}|=\sqrt{64+36+21}=11;\qquad \overrightarrow{BD}=(-8;6;0),\quad |\overrightarrow{BD}|=10.$$

Шаг 3. Угол между прямыми не бывает тупым, поэтому берём модуль скалярного произведения:

$$\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BD}|}{|\overrightarrow{SC}|\cdot|\overrightarrow{BD}|}=\dfrac{|-64+36+0|}{11\cdot10}=\dfrac{28}{110}=\dfrac{14}{55}.$$

Значит, $\varphi=\arccos\dfrac{14}{55}$.

Проверим себя без координат: проведём через $C$ прямую, параллельную $BD$, до пересечения с прямой $AB$ в точке $T$. $BDCT$ — параллелограмм, $CT=BD=10$, $AT=2AB=16$, $ST^2=SA^2+AT^2=21+256=277$, $SC=11$. По теореме косинусов $\cos\angle SCT=\dfrac{121+100-277}{2\cdot11\cdot10}=-\dfrac{56}{220}=-\dfrac{14}{55}$; угол тупой, а угол между прямыми — смежный с ним, его косинус $\dfrac{14}{55}$. Совпало.