а) AC — диаметр, значит, вписанный угол ABC, опирающийся на него, прямой: \angle ABC = 90^\circ. В прямоугольном треугольнике ABC катет AB = 1 лежит напротив угла \angle ACB = 30^\circ, а катет напротив 30^\circ — это половина гипотенузы: AC = 2 \cdot AB = 2. Второй катет — по теореме Пифагора: BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}.

Угол между скрещивающимися прямыми AC_1 и BC увидим после параллельного переноса. Проведём образующую BB_1: отрезки BB_1 и CC_1 параллельны и равны, значит, CBB_1C_1 — параллелограмм и B_1C_1 \parallel BC, B_1C_1 = \sqrt{3}. Значит, искомый угол — это угол AC_1B_1 в треугольнике AB_1C_1.

Стороны этого треугольника: из прямоугольного треугольника ACC_1 получаем AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{4 + 8} = 2\sqrt{3}; из прямоугольного треугольника ABB_1 получаем AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1 + 8} = 3. Теорема косинусов: \cos\angle AC_1B_1 = \dfrac{AC_1^2 + B_1C_1^2 - AB_1^2}{2 \cdot AC_1 \cdot B_1C_1} = \dfrac{12 + 3 - 9}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}. Отсюда \angle AC_1B_1 = 60^\circ — что и требовалось доказать.

б) А здесь всё быстрее, чем кажется: для боковой поверхности нужны только радиус и высота, а обе величины у нас уже в руках. Радиус — половина диаметра: r = \dfrac{AC}{2} = 1. Высота цилиндра равна образующей: h = CC_1 = 2\sqrt{2}. Считаем: S = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\,\pi. Проверим: радиус 1 даёт диаметр 2, и действительно AC = 2 — всё сходится.

Ответ: 4\sqrt{2}\,\pi.