ID: 00022281
Источник: ФИПИ
а) $AC$ — диаметр, значит, вписанный угол $ABC$, опирающийся на него, прямой: $\angle ABC = 90^\circ$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB = 1$ лежит напротив угла $\angle ACB = 30^\circ$, а катет напротив $30^\circ$ — это половина гипотенузы: $AC = 2 \cdot AB = 2$. Второй катет — по теореме Пифагора: $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$.
Угол между скрещивающимися прямыми $AC_1$ и $BC$ увидим после параллельного переноса. Проведём образующую $BB_1$: отрезки $BB_1$ и $CC_1$ параллельны и равны, значит, $CBB_1C_1$ — параллелограмм и $B_1C_1 \parallel BC$, $B_1C_1 = \sqrt{3}$. Значит, искомый угол — это угол $AC_1B_1$ в треугольнике $AB_1C_1$.
Стороны этого треугольника: из прямоугольного треугольника $ACC_1$ получаем $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{4 + 8} = 2\sqrt{3}$; из прямоугольного треугольника $ABB_1$ получаем $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1 + 8} = 3$. Теорема косинусов: $\cos\angle AC_1B_1 = \dfrac{AC_1^2 + B_1C_1^2 - AB_1^2}{2 \cdot AC_1 \cdot B_1C_1} = \dfrac{12 + 3 - 9}{2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$. Отсюда $\angle AC_1B_1 = 60^\circ$ — что и требовалось доказать.
б) А здесь всё быстрее, чем кажется: для боковой поверхности нужны только радиус и высота, а обе величины у нас уже в руках. Радиус — половина диаметра: $r = \dfrac{AC}{2} = 1$. Высота цилиндра равна образующей: $h = CC_1 = 2\sqrt{2}$. Считаем: $S = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\,\pi$. Проверим: радиус $1$ даёт диаметр $2$, и действительно $AC = 2$ — всё сходится.