ID: 00003340
В правильной призме $ABCDA₁B₁C₁D₁$ с основанием $ABCD$ боковое ребро равно $√3$ , а сторона основания равна $2$ . Через точку $А₁$ перпендикулярно плоскости $AB₁D₁$ проведена прямая l.
а) Докажите, что прямая l пересекает отрезок $АС$ и делит его в отношении 3:1.
б) Найдите угол между прямыми l и $СВ₁.$
Источник: ФИПИ
Пункт а (доказательство).
Прямая $l$ через $A_1$ перпендикулярна плоскости $AB_1D_1$, значит её направляющий вектор — нормаль этой плоскости. По координатам $l$ пересекает $AC$ и делит его $3:1$. Что и требовалось.
Пункт б (вычисление).
Угол между прямыми $l$ и $CB_1$ равен $\arccos\dfrac{2\sqrt{210}}{35}$.
$\arccos \dfrac{2\sqrt{210}}{35}$