Угол между… — Задание 14 ЕГЭ по математике №00028756

Сначала соберём картинку. Точки $A$ и $B$ лежат на нижней окружности, точки $B_1$ и $C_1$ — на верхней, причём $BB_1$ — образующая, то есть вертикальный отрезок, соединяющий точку нижней окружности с точкой прямо над ней.

Главный приём: спустим точку $C_1$ вниз. Пусть $C$ — точка нижнего основания, лежащая ровно под $C_1$ (то есть $CC_1$ — тоже образующая). Тогда $C$ лежит на нижней окружности, а четырёхугольник $BB_1C_1C$ — прямоугольник, поэтому $BC=B_1C_1$ и $CC_1=BB_1$. Теперь вся задача переехала в удобную плоскость нижнего основания.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Разберёмся, что даёт условие «отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра». Ось перпендикулярна основаниям, поэтому при проецировании на нижнее основание она переходит в одну точку — центр $O$ нижней окружности. Отрезок $AC_1$ при этом проецируется в отрезок $AC$ (точка $A$ переходит в себя, точка $C_1$ — в $C$). Раз исходный отрезок имел с осью общую точку, то и проекции имеют общую точку: прямая $AC$ проходит через центр $O$. Значит $AC$ — диаметр нижнего основания.

Шаг 2. Угол $ABC$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC$, а такой угол прямой. Значит $AB\perp BC$.

Шаг 3. Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $CC_1\perp AB$.

Шаг 4. Итак, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$, лежащим в плоскости $BCC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AB\perp$ плоскости $BCC_1$, а значит $AB$ перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, в том числе прямой $BC_1$.

Следовательно, угол $ABC_1$ прямой. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Угол между скрещивающимися прямыми ищут так: одну из них заменяют на параллельную ей прямую, пересекающую вторую. Образующие $BB_1$ и $CC_1$ параллельны (обе перпендикулярны основаниям), поэтому искомый угол между $BB_1$ и $AC_1$ равен углу между $CC_1$ и $AC_1$, то есть углу $AC_1C$ в треугольнике $ACC_1$.

Этот треугольник прямоугольный: $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а $AC$ лежит в основании, значит угол при вершине $C$ прямой.

Найдём его катеты. Первый — это $AC$; берём прямоугольный треугольник $ABC$ (прямой угол при $B$ мы доказали в пункте а) и вспоминаем, что $BC=B_1C_1=8$:

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Второй катет — образующая: $CC_1=BB_1=15$.

В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ тангенс угла при вершине $C_1$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\mathrm{tg}\,\angle AC_1C=\dfrac{AC}{CC_1}=\dfrac{10}{15}=\dfrac23$.

Значит искомый угол равен $\mathrm{arctg}\,\dfrac23$.

Проверим себя: $\dfrac23\lt1$, поэтому угол меньше $45^\circ$ — и это логично, ведь цилиндр вытянутый (высота $15$ против диаметра $10$), а отрезок $AC_1$ идёт почти вдоль оси.