В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B , а на окружности другого основания — точки B индекс 1 и C индекс 1 , причём BB индекс 1 — образующая цилиндра, а отрезок AC индекс 1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC индекс 1 прямой. б) Найдите угол между прямыми BB индекс 1 и AC индекс 1 , если AB равно 6 , BB индекс 1 равно 15 , B индекс 1 C индекс 1 равно 8 .

б) arctg дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , то есть примерно 33, 7 в степени °

Задание 14 ЕГЭ по математике: В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На…

№2. Задание 14

ID: 00028756

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$ , а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$ , причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.

б) Найдите угол между прямыми $BB_1$ и $AC_1$ , если $AB=6$ , $BB_1=15$ , $B_1C_1=8$ .

Источник: ФИПИ

Решение

Сначала соберём картинку. Точки $A$ и $B$ лежат на нижней окружности, точки $B_1$ и $C_1$ — на верхней, причём $BB_1$ — образующая, то есть вертикальный отрезок, соединяющий точку нижней окружности с точкой прямо над ней.

Главный приём: спустим точку $C_1$ вниз. Пусть $C$ — точка нижнего основания, лежащая ровно под $C_1$ (то есть $CC_1$ — тоже образующая). Тогда $C$ лежит на нижней окружности, а четырёхугольник $BB_1C_1C$ — прямоугольник, поэтому $BC=B_1C_1$ и $CC_1=BB_1$ . Теперь вся задача переехала в удобную плоскость нижнего основания.

Пункт а (доказательство).

Шаг 1. Разберёмся, что даёт условие «отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра». Ось перпендикулярна основаниям, поэтому при проецировании на нижнее основание она переходит в одну точку — центр $O$ нижней окружности. Отрезок $AC_1$ при этом проецируется в отрезок $AC$ (точка $A$ переходит в себя, точка $C_1$ — в $C$ ). Раз исходный отрезок имел с осью общую точку, то и проекции имеют общую точку: прямая $AC$ проходит через центр $O$ . Значит $AC$ — диаметр нижнего основания.

Шаг 2. Угол $ABC$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC$ , а такой угол прямой. Значит $AB\perp BC$ .

Шаг 3. Образующая $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а значит перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $CC_1\perp AB$ .

Шаг 4. Итак, прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $CC_1$ , лежащим в плоскости $BCC_1$ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $AB\perp$ плоскости $BCC_1$ , а значит $AB$ перпендикулярна и любой прямой этой плоскости, в том числе прямой $BC_1$ .

Следовательно, угол $ABC_1$ прямой. Что и требовалось доказать.

Пункт б (вычисление).

Угол между скрещивающимися прямыми ищут так: одну из них заменяют на параллельную ей прямую, пересекающую вторую. Образующие $BB_1$ и $CC_1$ параллельны (обе перпендикулярны основаниям), поэтому искомый угол между $BB_1$ и $AC_1$ равен углу между $CC_1$ и $AC_1$ , то есть углу $AC_1C$ в треугольнике $ACC_1$ .

Этот треугольник прямоугольный: $CC_1$ перпендикулярна плоскости основания, а $AC$ лежит в основании, значит угол при вершине $C$ прямой.

Найдём его катеты. Первый — это $AC$ ; берём прямоугольный треугольник $ABC$ (прямой угол при $B$ мы доказали в пункте а) и вспоминаем, что $BC=B_1C_1=8$ :

$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .

Второй катет — образующая: $CC_1=BB_1=15$ .

В прямоугольном треугольнике $ACC_1$ тангенс угла при вершине $C_1$ — это отношение противолежащего катета к прилежащему:

$\mathrm{tg}\,\angle AC_1C=\dfrac{AC}{CC_1}=\dfrac{10}{15}=\dfrac23$ .

Значит искомый угол равен $\mathrm{arctg}\,\dfrac23$ .

Проверим себя: $\dfrac23\lt1$ , поэтому угол меньше $45^\circ$ — и это логично, ведь цилиндр вытянутый (высота $15$ против диаметра $10$ ), а отрезок $AC_1$ идёт почти вдоль оси.

Ответ

б) $\mathrm{arctg}\,\dfrac{2}{3}$ , то есть примерно $33{,}7^\circ$