Куб — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042481

Пусть ребро куба $a$, а диагональ — $AC'$, её длина $a\sqrt3$. Остальные шесть вершин делятся на две тройки: $B$, $D$, $A'$ соседствуют с $A$, а $C$, $B'$, $D'$ — с $C'$.

Рассмотрю вершину $B$. Ребро $AB$ перпендикулярно грани $BB'C'C$, а значит, и прямой $BC'$ в ней. Треугольник $ABC'$ прямоугольный с прямым углом при $B$ и гипотенузой $AC'$.

Перпендикуляр $BH$ — высота к гипотенузе. В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на неё:

$$AB^2=AC'\cdot AH\quad\Longrightarrow\quad AH=\dfrac{a^2}{a\sqrt3}=\dfrac{a}{\sqrt3}.$$

Для вершин $D$ и $A'$ всё то же самое (катет-ребро $a$, та же гипотенуза), поэтому их перпендикуляры падают в ту же точку $H_1$, где $AH_1=\dfrac{a}{\sqrt3}$.

Вершины $C$, $B'$, $D'$ соседствуют с $C'$; по тем же причинам их перпендикуляры падают в одну точку $H_2$, для которой $C'H_2=\dfrac{a}{\sqrt3}$.

Средняя часть:

$$H_1H_2=a\sqrt3-\dfrac{2a}{\sqrt3}=\dfrac{3a-2a}{\sqrt3}=\dfrac{a}{\sqrt3}.$$

Диагональ разделена на три равные части по $\dfrac{a}{\sqrt3}$. Отношение длины диагонали к наименьшей части:

$$\dfrac{a\sqrt3}{a/\sqrt3}=3.$$

Проверка координатами. При $a=1$: $A(0;0;0)$, $C'(1;1;1)$. Основание перпендикуляра из точки $X$ на прямую $AC'$ стоит в доле $t=\dfrac{\overrightarrow{AX}\cdot\overrightarrow{AC'}}{AC'^2}$ от $A$. Для $B(1;0;0)$: $t=\dfrac13$; для $C(1;1;0)$: $t=\dfrac23$. Точки делят диагональ в отношении $1:1:1$.