Куб — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042331

Прямые $MH$ и $KC'$ лежат в противоположных гранях $AA'B'B$ и $DD'C'C$ и скрещиваются. Перенесу $KC'$ параллельно в грань $AA'B'B$ — угол между прямыми от этого не изменится.

Параллельный перенос на вектор $\overrightarrow{DA}$ переводит грань $DD'C'C$ в грань $AA'B'B$: точка $K$ (середина $DD'$) переходит в середину $K_1$ ребра $AA'$, точка $C'$ — в $B'$. Значит, $KC'\parallel K_1B'$.

Нарисую квадрат $AA'B'B$ со стороной 4: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oz$ вдоль $AA'$, $A$ — начало.

Из $A'M:MB'=1:3$ получаю $A'M=\dfrac14\cdot4=1$, то есть $M(1;4)$. Из $AH:HB=3:1$ получаю $AH=\dfrac34\cdot4=3$, то есть $H(3;0)$. Ещё $K_1(0;2)$ и $B'(4;4)$.

Векторы направлений:

$$\overrightarrow{MH}=(3-1;\ 0-4)=(2;-4),\qquad \overrightarrow{K_1B'}=(4-0;\ 4-2)=(4;2).$$

Их скалярное произведение: $2\cdot4+(-4)\cdot2=8-8=0$. Значит, $MH\perp K_1B'$, а потому $MH\perp KC'$. Угол равен $90^\circ$.

Проверка в пространстве. Пусть $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $A'(0;0;4)$. Тогда $M(1;0;4)$, $H(3;0;0)$, $K(0;4;2)$, $C'(4;4;4)$:

$$\overrightarrow{MH}=(2;0;-4),\quad \overrightarrow{KC'}=(4;0;2),\quad 2\cdot4+0\cdot0+(-4)\cdot2=0.$$

Результат тот же — $90^\circ$.