ID: 00005272
Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
Источник: ФИПИ
Пусть ребро куба равно $a$, тогда его объём $a^3 = 80$.
Плоскость проходит через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, параллельно третьему ребру — она отсекает треугольную призму.
Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $\dfrac{a}{2}$, его площадь:
$$S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{a}{2} = \dfrac{a^2}{8}.$$
Высота призмы — целое ребро куба $a$ (плоскость параллельна ему), поэтому объём:
$$V = S \cdot a = \dfrac{a^3}{8} = \dfrac{80}{8} = 10.$$