Куб — Задание 3 ЕГЭ по математике №00041903

Обозначу ребро куба $a$. Новый куб с ребром $a+1$ складывается из старого куба и «нароста» толщиной $1$.

Нарост состоит из трёх пластин $a\times a\times1$, трёх брусков $a\times1\times1$ и одного кубика $1\times1\times1$. Его объём:

$$3a^2+3a+1.$$

То же даёт формула куба суммы: $(a+1)^3-a^3=3a^2+3a+1$.

По условию прирост равен $169$:

$$3a^2+3a+1=169,\quad 3a^2+3a-168=0,\quad a^2+a-56=0.$$

Дискриминант: $D=1^2-4\cdot1\cdot(-56)=1+224=225$, $\sqrt D=15$.

$$a_1=\dfrac{-1+15}{2}=7,\quad a_2=\dfrac{-1-15}{2}=-8.$$

Длина ребра положительна, поэтому $a=7$.

Проверка: $8^3-7^3=512-343=169$ — совпадает с условием.