Куб — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042328

Обозначу ребро куба через $x$, а середину ребра $D'C'$ — через $N$. Сначала построю сечение, потом выражу его площадь через $x$.

Верхняя и нижняя грани куба параллельны. Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Нижнюю грань секущая плоскость пересекает по диагонали $BD$, значит, верхнюю — по прямой через $N$, параллельной $BD$, то есть параллельной $B'D'$.

В треугольнике $B'C'D'$ прямая через середину стороны $D'C'$, параллельная $B'D'$, — средняя линия. Она проходит через середину $M$ ребра $B'C'$, и $MN=\dfrac12 B'D'$.

Сечение — трапеция $BDNM$ с основаниями

$$BD=x\sqrt2,\qquad MN=\dfrac{x\sqrt2}{2}.$$

Боковая сторона $DN$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $DD'N$ с катетами $DD'=x$ и $D'N=\dfrac x2$. По теореме Пифагора

$$DN=\sqrt{x^2+\dfrac{x^2}{4}}=\dfrac{x\sqrt5}{2}.$$

Так же $BM=\dfrac{x\sqrt5}{2}$, поэтому трапеция равнобедренная.

В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований:

$$\dfrac{BD-MN}{2}=\dfrac12\left(x\sqrt2-\dfrac{x\sqrt2}{2}\right)=\dfrac{x\sqrt2}{4}.$$

Высоту трапеции $h$ найду по теореме Пифагора:

$$h^2=\dfrac{5x^2}{4}-\dfrac{2x^2}{16}=\dfrac{20x^2-2x^2}{16}=\dfrac{9x^2}{8},\qquad h=\dfrac{3x}{2\sqrt2}.$$

Площадь трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту:

$$S=\dfrac12\left(x\sqrt2+\dfrac{x\sqrt2}{2}\right)\cdot\dfrac{3x}{2\sqrt2}=\dfrac{3x\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{3x}{2\sqrt2}=\dfrac{9x^2}{8}.$$

По условию $\dfrac{9x^2}{8}=144$, откуда $x^2=\dfrac{144\cdot8}{9}=128$.

Полная поверхность куба состоит из шести квадратных граней:

$$S_{\text{пов}}=6x^2=6\cdot128=768.$$

Проверка другим способом. Трапеция проецируется на нижнюю грань в четырёхугольник $BDN_0M_0$, где $N_0$ и $M_0$ — середины $DC$ и $BC$. Это треугольник $BCD$ без треугольника $M_0CN_0$: $\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^2}{8}=\dfrac{3x^2}{8}$. Расстояние между прямыми $BD$ и $M_0N_0$ в основании равно $\dfrac{x\sqrt2}{4}$, а подъём — $x$, поэтому $\operatorname{tg}\varphi=2\sqrt2$ и $\cos\varphi=\dfrac13$. Площадь сечения $\dfrac{3x^2}{8}:\dfrac13=\dfrac{9x^2}{8}$ — совпадает.