Куб — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042330

Прямые $AC'$ и $CB'$ скрещиваются. Угол между ними найду через проекцию на грань, в которой лежит $CB'$.

Прямая $CB'$ лежит в грани $BB'C'C$. Ребро $AB$ перпендикулярно этой грани (оно перпендикулярно рёбрам $BC$ и $BB'$, которые в ней пересекаются). Поэтому проекция точки $A$ на грань — точка $B$, а точка $C'$ лежит в грани сама. Значит, проекция наклонной $AC'$ на грань $BB'C'C$ — диагональ $BC'$.

Грань $BB'C'C$ — квадрат, а диагонали квадрата перпендикулярны: $BC'\perp CB'$.

По теореме о трёх перпендикулярах: если прямая в плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Значит, $CB'\perp AC'$, и угол между прямыми равен $90^\circ$.

Проверка координатами. Пусть $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $A'(0;0;1)$. Тогда $C'(1;1;1)$, $C(1;1;0)$, $B'(1;0;1)$:

$$\overrightarrow{AC'}=(1;1;1),\qquad \overrightarrow{CB'}=(0;-1;1),$$

$$\overrightarrow{AC'}\cdot\overrightarrow{CB'}=1\cdot0+1\cdot(-1)+1\cdot1=0.$$

Скалярное произведение равно нулю — прямые перпендикулярны, угол $90^\circ$.