Шар — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042381

Пусть $ABCD$ — ромб, $O$ — центр шара, $OH$ — перпендикуляр к плоскости ромба. Нужно найти $OH$.

Пусть $K$ — точка касания шара со стороной $AB$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной: $OK\perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах проекция $HK$ наклонной $OK$ тоже перпендикулярна $AB$. Значит, $HK$ — расстояние от $H$ до стороны $AB$.

Из прямоугольного треугольника $OHK$: $HK=\sqrt{OK^2-OH^2}=\sqrt{20^2-OH^2}$ — одно и то же число для всех четырёх сторон. Получается, что точка $H$ равноудалена от всех сторон ромба, то есть $H$ — центр вписанной в ромб окружности, точка пересечения диагоналей, а $HK=r$ — радиус этой окружности.

Найду $r$. Половины диагоналей: $AH=20$, $BH=15$, они перпендикулярны. Сторона ромба по теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25.$$

Площадь треугольника $ABH$ запишу двумя способами — через катеты и через гипотенузу $AB$ с высотой $HK$:

$$\dfrac12\cdot AH\cdot BH=\dfrac12\cdot AB\cdot HK\quad\Longrightarrow\quad HK=\dfrac{20\cdot15}{25}=\dfrac{300}{25}=12.$$

Теперь из прямоугольного треугольника $OHK$:

$$OH=\sqrt{OK^2-HK^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16.$$

Проверка радиуса вписанной окружности другим способом: площадь ромба $\dfrac{30\cdot40}{2}=600$, полупериметр $\dfrac{4\cdot25}{2}=50$, $r=\dfrac{600}{50}=12$ — совпадает.