Шар — Задание 3 ЕГЭ по математике №00042380

Пусть треугольник $ABC$ с основанием $AC=4$ и вершиной $B$, $\sin\angle ABC=\dfrac13$; $O$ — центр сферы, $OH$ — перпендикуляр к плоскости треугольника, $OH=8$. Нужно найти $R=OA=OB=OC$.

Где находится точка $H$. Прямоугольные треугольники $AOH$, $BOH$, $COH$ равны по гипотенузе ($OA=OB=OC=R$) и общему катету $OH$. Значит, $HA=HB=HC$, и $H$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Радиус этой окружности $r=HA$ найду по теореме синусов: сторона, делённая на синус противолежащего угла, равна диаметру описанной окружности. Против основания $AC$ лежит угол при вершине $B$:

$$2r=\dfrac{AC}{\sin\angle ABC}=\dfrac{4}{\frac13}=12,\qquad r=6.$$

Теперь теорема Пифагора для прямоугольного треугольника $AOH$ (прямой угол при $H$):

$$R^2=OH^2+HA^2=8^2+6^2=64+36=100,\qquad R=10.$$

Проверка по смыслу: радиус сферы — гипотенуза, он больше обоих катетов: $10\gt8$ и $10\gt6$. И обратный пересчёт: $\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{36}=6$ — ровно радиус окружности, найденный по теореме синусов.