Задание 20 ЕГЭ по математике №00042222

Запишу двузначное число как $10a+b$, где $a$ — цифра десятков, $b$ — цифра единиц.

Первая операция: $10(a+2)+(b-2)=10a+b+18$ — число увеличивается на 18.

Вторая операция: $10(a-2)+(b+8)=10a+b-12$ — число уменьшается на 12.

Пусть первую операцию применили к $k$ числам, вторую — к $m$ числам. Сумма получившихся чисел больше суммы исходных на $18k-12m$.

Пункт а. Нужно $18k-12m=134$. Левая часть равна $6(3k-2m)$ и делится на 6, а значит, и на 3. Число $134=3\cdot44+2$ на 3 не делится. Итак, нет.

Пункт б. Суммы равны: $18k=12m$, то есть $3k=2m$.

Отсюда $k$ чётно: $k=2t$, тогда $m=3t$, и всего чисел $k+m=5t$.

Количество чисел обязано делиться на 5, а $26$ на 5 не делится. Итак, нет.

Пункт в. Чисел $5t$: $2t$ — с первой операцией, $3t$ — со второй.

Первая операция допустима, если $a+2\le9$ и $b-2\ge0$, то есть $a\le7$, $b\ge2$. Наименьшее такое число — $12$.

Вторая операция допустима, если $a-2\ge1$ (результат двузначный) и $b+8\le9$, то есть $a\ge3$, $b\le1$. Наименьшее такое число — $30$.

Оценка. Сумма исходных чисел не меньше $2t\cdot12+3t\cdot30=24t+90t=114t$, и по условию $114t\lt1025$.

При $t=9$ имеем $114\cdot9=1026\gt1025$ — не подходит. Значит, $t\le8$ и чисел не больше $5\cdot8=40$.

Пример. Возьму $16$ чисел $12$ (первая операция даёт $30$) и $24$ числа $30$ (вторая операция даёт $18$).

Сумма исходных: $16\cdot12+24\cdot30=192+720=912\lt1025$.

Сумма получившихся: $16\cdot30+24\cdot18=480+432=912$ — равна исходной, все числа двузначные.

Итак, наибольшее количество чисел — 40.