Задание 20 ЕГЭ по математике №00041818

Обозначим через $s$ количество синих карточек, через $k$ — красных. Условие задачи в этих обозначениях: наибольшее красное число равно $2s$, наибольшее синее число равно $k$. Поскольку синие числа делятся на $3$, число $k$ тоже должно делиться на $3$.

Все числа больше $-36$. Значит, наименьшее возможное синее число (кратное $3$) равно $-33$, а наименьшее возможное красное (чётное) равно $-34$.

Пункт а. Пусть синяя карточка одна: $s=1$, на ней число $3$. Тогда красных карточек должно быть $k=3$, а наибольшее красное число равно $2\cdot 1=2$. Возьмём красные числа $2$, $0$, $-2$. Проверяем: синие числа (одно число $3$) делятся на $3$; красные числа различны и чётны; все числа больше $-36$; наибольшее красное $2=2\cdot 1$; наибольшее синее $3$ равно количеству красных. Итак, да.

Пункт б. Пусть $s=50$. Синие числа — $50$ различных чисел, кратных $3$, каждое не меньше $-33$. Расставим их по возрастанию: каждое следующее хотя бы на $3$ больше предыдущего, поэтому наибольшее не меньше

$$-33+3\cdot 49=114.$$

Значит, $k\ge 114$ — красных карточек не меньше $114$.

С другой стороны, наибольшее красное число равно $2\cdot 50=100$. Красные числа — различные чётные числа от $-34$ до $100$, а таких чисел всего $\dfrac{100-(-34)}{2}+1=68$. Значит, $k\le 68$.

Противоречие: $k$ не может быть одновременно не меньше $114$ и не больше $68$. Итак, нет.

Пункт в. Оценка. Те же рассуждения в общем виде.

Синие числа: $s$ различных чисел, кратных $3$, не меньших $-33$, поэтому наибольшее из них не меньше $-33+3(s-1)=3s-36$. Оно равно $k$, значит, $k\ge 3s-36$.

Красные числа: $k$ различных чётных чисел, не меньших $-34$, поэтому наибольшее не меньше $-34+2(k-1)=2k-36$. Оно равно $2s$, значит, $2s\ge 2k-36$, то есть $k\le s+18$.

Объединяем: $3s-36\le k\le s+18$, откуда $3s-36\le s+18$, $2s\le 54$, $s\le 27$.

Пример с $s=27$. Тогда $3\cdot 27-36=45\le k\le 27+18=45$, то есть $k=45$ (и $45$ делится на $3$, как и требуется). Синие числа: $-33,-30,\ldots,45$ — это $\dfrac{45-(-33)}{3}+1=27$ чисел, наибольшее $45=k$. Красные числа: $-34,-32,\ldots,54$ — это $\dfrac{54-(-34)}{2}+1=45$ чисел, наибольшее $54=2\cdot 27$. Все условия выполнены. Итак, $27$.