Задание 20 ЕГЭ по математике №00042221

Сначала разберусь, как каждая операция меняет само число. Цифра десятков «весит» 10, цифра единиц — 1.

Первая операция: десятки $+2$, единицы $-8$. Число меняется на $2\cdot10-8=+12$.

Вторая операция: десятки $-2$, единицы $+5$. Число меняется на $-2\cdot10+5=-15$.

Пусть первую операцию применили к $x$ числам, а вторую — к $y$ числам. Тогда сумма получившихся чисел больше суммы исходных на $12x-15y$.

Пункт а. Нужно $12x-15y=116$. Левая часть равна $3(4x-5y)$, то есть делится на 3. А $116=3\cdot38+2$ на 3 не делится. Значит, так быть не может. Итак, нет.

Пункт б. Суммы равны, значит, $12x-15y=0$, то есть $4x=5y$.

Числа 4 и 5 взаимно просты, поэтому $x$ делится на 5: $x=5t$, и тогда $y=4t$ ($t$ — натуральное).

Всего чисел $x+y=9t$ — это число кратно 9. Но $23$ на 9 не делится. Итак, нет.

Пункт в. По пункту б чисел $9t$: из них $5t$ подвергаются первой операции и $4t$ — второй.

Выясню, какие числа допустимы для каждой операции.

Первая операция: после неё цифра единиц $b-8\ge0$, значит, $b\ge8$; цифра десятков $a+2\le9$, значит, $a\le7$. Наименьшее такое число — $18$.

Вторая операция: новая цифра десятков $a-2\ge1$ (число должно остаться двузначным), значит, $a\ge3$; цифра единиц $b+5\le9$, значит, $b\le4$. Наименьшее такое число — $30$.

Оценка. Сумма исходных чисел не меньше $5t\cdot18+4t\cdot30=90t+120t=210t$. По условию она меньше 1255, поэтому $210t\lt1255$.

При $t=6$ получаем $210\cdot6=1260\gt1255$ — не подходит. Значит, $t\le5$, и чисел не больше $9\cdot5=45$.

Пример. Возьму $25$ чисел $18$ и $20$ чисел $30$. Числа $18$ превращаю первой операцией в $30$, числа $30$ второй операцией — в $15$.

Сумма исходных: $25\cdot18+20\cdot30=450+600=1050\lt1255$.

Сумма получившихся: $25\cdot30+20\cdot15=750+300=1050$ — суммы равны, все новые числа двузначные.

Проверка: $1050-1050=0$, $45=9\cdot5$, условие «меньше 1255» выполнено. Наибольшее количество чисел — 45.