Что дано: в школе № 2 средний балл был 14. Ученик из школы № 1 (с баллом s) перешёл в № 2, и в обеих школах средний упал ровно на 2{,}5\%. Новый средний в № 2: 14\cdot 0{,}975=13{,}65.

Пункт а). Сколько могло быть n_2? Запишем \dfrac{14n_2+s}{n_2+1}=13{,}65=\dfrac{273}{20}. Чтобы при целой сумме баллов средний был таким, n_2+1 должно делиться на 20, то есть n_2\equiv 19\pmod{20}. Из s=13{,}65(n_2+1)-14n_2=13{,}65-0{,}35n_2\gt 0 получаем n_2\lt 39. Единственное подходящее — n_2=19 (тогда s=13{,}65-6{,}65=7). Значит — 19.

Пункт б). Каждый ученик № 2 набрал больше s=7, то есть не меньше 8. Сумма баллов девятнадцати равна 14\cdot 19=266. Если один набрал M, то остальные 18 дают не меньше 18\cdot 8=144, поэтому M\leqslant 266-144=122. Значение 122 достижимо. Наибольший балл — 122.

Пункт в). Для школы № 1: было n_1 учеников со средним \text{avg}, ушёл ученик с баллом 7, средний стал 0{,}975\,\text{avg}. Из \dfrac{\text{avg}\cdot n_1-7}{n_1-1}=0{,}975\,\text{avg} получаем \text{avg}(n_1+39)=280. Чтобы n_1 был наибольшим, \text{avg} — наименьший: новый средний 0{,}975\,\text{avg}\geqslant 1 даёт \text{avg}\geqslant 2, а \text{avg} делит 280, берём \text{avg}=2. Тогда n_1+39=140, n_1=101. Наибольшее число — 101.