Задание 19 ЕГЭ по математике №00013690

Что дано: в школе № 2 средний балл был $14$. Ученик из школы № 1 (с баллом $s$) перешёл в № 2, и в обеих школах средний упал ровно на $2{,}5\%$. Новый средний в № 2: $14\cdot 0{,}975=13{,}65$.

Пункт а). Сколько могло быть $n_2$? Запишем $\dfrac{14n_2+s}{n_2+1}=13{,}65=\dfrac{273}{20}$. Чтобы при целой сумме баллов средний был таким, $n_2+1$ должно делиться на $20$, то есть $n_2\equiv 19\pmod{20}$. Из $s=13{,}65(n_2+1)-14n_2=13{,}65-0{,}35n_2\gt 0$ получаем $n_2\lt 39$. Единственное подходящее — $n_2=19$ (тогда $s=13{,}65-6{,}65=7$). Значит — 19.

Пункт б). Каждый ученик № 2 набрал больше $s=7$, то есть не меньше $8$. Сумма баллов девятнадцати равна $14\cdot 19=266$. Если один набрал $M$, то остальные $18$ дают не меньше $18\cdot 8=144$, поэтому $M\leqslant 266-144=122$. Значение $122$ достижимо. Наибольший балл — 122.

Пункт в). Для школы № 1: было $n_1$ учеников со средним $\text{avg}$, ушёл ученик с баллом $7$, средний стал $0{,}975\,\text{avg}$. Из $\dfrac{\text{avg}\cdot n_1-7}{n_1-1}=0{,}975\,\text{avg}$ получаем $\text{avg}(n_1+39)=280$. Чтобы $n_1$ был наибольшим, $\text{avg}$ — наименьший: новый средний $0{,}975\,\text{avg}\geqslant 1$ даёт $\text{avg}\geqslant 2$, а $\text{avg}$ делит $280$, берём $\text{avg}=2$. Тогда $n_1+39=140$, $n_1=101$. Наибольшее число — 101.