Задание 20 ЕГЭ по математике №00041822

Обозначим через $s$ количество синих карточек, через $k$ — красных. Условие: наибольшее красное число равно $3s$, наибольшее синее число равно $k$. Синие числа делятся на $5$, поэтому $k$ тоже должно делиться на $5$.

Все числа больше $-45$. Значит, наименьшее возможное синее число (кратное $5$) равно $-40$, а наименьшее возможное красное (кратное $3$) равно $-42$.

Пункт а. Пусть красных карточек $k=5$. Тогда наибольшее синее число равно $5$. Возьмём одну синюю карточку с числом $5$, то есть $s=1$; тогда наибольшее красное число равно $3\cdot 1=3$. Красные числа: $3$, $0$, $-3$, $-6$, $-9$ — пять различных чисел, кратных $3$, все больше $-45$. Проверяем: наибольшее красное $3=3\cdot 1$, наибольшее синее $5$ равно числу красных карточек. Итак, да.

Пункт б. Пусть $k=100$. Красные числа — $100$ различных чисел, кратных $3$, каждое не меньше $-42$. По возрастанию каждое следующее хотя бы на $3$ больше предыдущего, поэтому наибольшее не меньше

$$-42+3\cdot 99=255.$$

Оно равно $3s$, значит, $3s\ge 255$ и $s\ge 85$.

С другой стороны, наибольшее синее число равно $k=100$. Синие числа — различные числа, кратные $5$, от $-40$ до $100$; таких всего $\dfrac{100-(-40)}{5}+1=29$. Значит, $s\le 29$.

Противоречие: $s$ не может быть одновременно не меньше $85$ и не больше $29$. Итак, нет.

Пункт в. Оценка. Синие числа: $s$ различных кратных $5$, не меньших $-40$, поэтому наибольшее не меньше $-40+5(s-1)=5s-45$. Оно равно $k$: $k\ge 5s-45$, то есть $s\le\dfrac{k+45}{5}$.

Красные числа: $k$ различных кратных $3$, не меньших $-42$, поэтому наибольшее не меньше $-42+3(k-1)=3k-45$. Оно равно $3s$: $3s\ge 3k-45$, то есть $s\ge k-15$.

Объединяем: $k-15\le s\le\dfrac{k+45}{5}$, откуда $5k-75\le k+45$, $4k\le 120$, $k\le 30$.

Пример с $k=30$. Тогда $15\le s\le\dfrac{75}{5}=15$, то есть $s=15$. Синие числа: $-40,-35,\ldots,30$ — это $\dfrac{30-(-40)}{5}+1=15$ чисел, наибольшее $30=k$. Красные числа: $-42,-39,\ldots,45$ — это $\dfrac{45-(-42)}{3}+1=30$ чисел, наибольшее $45=3\cdot 15$. Все условия выполнены. Итак, $30$.