Аналитическо… — Задание 19 ЕГЭ по математике №00042205

Неизвестное здесь $x$, а $a$ — параметр. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Знаменатель свернём по формуле квадрата разности: $x^{2}-24x+144=(x-12)^{2}$. Уравнение равносильно системе

$$\begin{cases}x^{2}-12x+a^{2}-14a=0,\\(x-12)^{2}\ne a.\end{cases}$$

Шаг 1. Корни числителя. Выделим полный квадрат: $(x-6)^{2}=36+14a-a^{2}$. Два различных корня $x=6\pm\sqrt{36+14a-a^{2}}$ есть только при

$$36+14a-a^{2}\gt 0\iff a^{2}-14a-36\lt 0\iff 7-\sqrt{85}\lt a\lt 7+\sqrt{85}.$$

(Корни уравнения $a^{2}-14a-36=0$ равны $7\pm\sqrt{49+36}=7\pm\sqrt{85}$.) При остальных $a$ у числителя не больше одного корня, и двух корней у уравнения быть не может.

Шаг 2. Когда корень числителя обнуляет знаменатель. Пусть $x$ — корень числителя и одновременно $(x-12)^{2}=a$. Обозначим $s=x-12$; тогда $a=s^{2}$ и $x-6=s+6$. Подставим в равенство $(x-6)^{2}=36+14a-a^{2}$:

$$(s+6)^{2}=36+14s^{2}-s^{4}.$$

Раскрываем скобки и переносим всё влево: $s^{2}+12s+36-36-14s^{2}+s^{4}=0$, то есть

$$s^{4}-13s^{2}+12s=0,\qquad s\left(s^{3}-13s+12\right)=0.$$

У кубического множителя есть корень $s=1$ (сумма коэффициентов $1-13+12=0$). Делим: $s^{3}-13s+12=(s-1)\left(s^{2}+s-12\right)=(s-1)(s-3)(s+4)$.

Итак, $s\in\{0;\,1;\,3;\,-4\}$, и «опасные» значения параметра $a=s^{2}$: $a=0$, $a=1$, $a=9$, $a=16$. Все они лежат внутри промежутка из шага 1, ведь $7-\sqrt{85}\approx -2{,}2$ и $7+\sqrt{85}\approx 16{,}2$.

Шаг 3. Убедимся, что при этих значениях выпадает ровно один корень.

$a=0$: числитель $x^{2}-12x=0$, корни $0$ и $12$; знаменатель $(x-12)^{2}$ обнуляется при $x=12$. Остаётся один корень.

$a=1$: $x^{2}-12x-13=0$, корни $13$ и $-1$; $(13-12)^{2}=1=a$ — корень $13$ выпадает. Остаётся один.

$a=9$: $x^{2}-12x-45=0$, корни $15$ и $-3$; $(15-12)^{2}=9$ — выпадает $15$. Остаётся один.

$a=16$: $x^{2}-12x+32=0$, корни $4$ и $8$; $(8-12)^{2}=16$ — выпадает $8$. Остаётся один.

При всех остальных $a$ из промежутка шага 1 оба корня числителя допустимы, и корней ровно два.

Проверим себя при $a=7$: $(x-6)^{2}=36+98-49=85$, корни $6\pm\sqrt{85}$; знаменатель $(x-12)^{2}-7$ в них равен $\left(-6\pm\sqrt{85}\right)^{2}-7=114\mp 12\sqrt{85}\ne 0$. Корней два.