ID: 00022374
Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений $\begin{cases} \log_3(16-y^2)=\log_3(16-a^2x^2), \\ x^2+y^2=8x+4y \end{cases}$ имеет ровно два различных решения.
Источник: ФИПИ
Логарифмы: $\log_3(16-y^2)=\log_3(16-a^2x^2)$ требует равенства и СТРОГОЙ положительности аргументов. Равенство даёт $y^2=a^2x^2$, то есть $y=ax$ или $y=-ax$; строгая положительность — $|y|<4$ (открытая полоса, ведь $16-y^2>0$). Значит, первое уравнение — пара прямых через начало координат, обрезанная полосой $|y|<4$.
Второе уравнение: $x^2+y^2=8x+4y\Rightarrow(x-4)^2+(y-2)^2=20$ — окружность с центром $(4;\,2)$, радиус $2\sqrt5$. И снова начало координат на окружности ($16+4=20$)! Поэтому $(0;\,0)$ — решение при любом $a$, это «бесплатная» точка в полосе.
Каждая прямая $y=kx$ даёт вторую точку окружности $x=\dfrac{8+4k}{1+k^2}$ (сливается с нулём при $k=-2$ — касание). У нас наклоны $k=a$ и $k=-a$: точки $P_1$ (на $y=ax$) и $P_2$ (на $y=-ax$). Пара прямых симметрична относительно замены $a\to-a$, поэтому ответ симметричен, разбираем $a\ge0$.
Проверяем открытую полосу $|y|<4$. Для $P_1$ она в полосе при $a<\dfrac12$ (строго), для $P_2$ — при $a>-\dfrac12$. Слияние с нулём: $P_1$ при $a=-2$, $P_2$ при $a=2$; слипание $P_1=P_2=(8;\,0)$ при $a=0$.
Разбор $a\ge0$. При $a=0$: $P_1=P_2=(8;\,0)$ плюс начало — 2, годится. При $02$: $P_1$ вне полосы, $P_2$ снова нормальная точка — начало и $P_2$, ровно 2, годится.
Для $a\ge0$ подходят $a=0$, $\dfrac12\le a<2$ и $a>2$. Отражая, получаем $a=0$, $-2 </p><p>Ответ:$a\in(-\infty;\,-2)\cup\left(-2;\,-\dfrac12\right]\cup\{0\}\cup\left[\dfrac12;\,2\right)\cup(2;\,+\infty)$.