ID: 00022371
Источник: ФИПИ
Первое уравнение — произведение с корнем, поэтому сразу выпишем область определения: $y-2x+12\ge0$, то есть точки на прямой $\ell:\ y=2x-12$ или выше неё. Множитель $\sqrt{y-2x+12}=0$ обнуляется на прямой $\ell$ — значит вся эта прямая входит в решение.
Выше прямой ($y-2x+12>0$) корень положителен, и должна обнулиться скобка $xy-2x+12=0$, то есть $y=2-\dfrac{12}{x}$ — гипербола. Хитрый момент: на этой гиперболе $12=x(2-y)$, и тогда условие области $y-2x+12\ge0$ превращается в $y(1-x)\ge0$. Разбирая знаки, получаем, что от гиперболы в наше множество входят только: вся левая ветка ($x<0$) и дуга при $1\le x\le6$ (её концы $(1;-10)$ и $(6;0)$ как раз лежат на прямой $\ell$).
Второе уравнение $y=ax-10$ — пучок прямых через фиксированную точку $(0;-10)$. Считаем, сколько раз такая прямая встречает наше множество (прямую $\ell$ плюс куски гиперболы), и хотим ровно две точки.
С прямой $\ell$ пересечение одно: $ax-10=2x-12$ даёт $x=\dfrac{2}{2-a}$ (кроме $a=2$, когда прямые параллельны). С гиперболой: подставляя $y=ax-10$ в $xy-2x+12=0$, получаем $ax^2-12x+12=0$. У его корней замечательное свойство: $(x_1-1)(x_2-1)=1$.
При $a<0$ у этого уравнения один корень отрицательный (он на левой ветке — годится), а второй попадает в $(0;1)$ (мимо дуги). Плюс точка на $\ell$ — итого ровно две точки. Значит, все $a<0$ подходят.
При $a>0$ оба корня положительны и больше $1$. Смотрим их положение относительно правого конца дуги $x=6$ через $f(6)=12(3a-5)$. При $0</p><p>Особые точки: при$a=2$прямая параллельна$\ell$(точки на$\ell$нет), а на дуге два корня — ровно две; при$a=3$дискриминант равен нулю, на дуге один (двойной) корень плюс точка на$\ell$— две. При$a>3$гипербола не задевается вовсе, остаётся одна точка на$\ell$.</p><p>Ответ:$a\in(-\infty;0)\cup\left(0;\dfrac{5}{3}\right]\cup\{2\}\cup\{3\}$. Проверка: при$a=0$прямая$y=-10$ловит угол$(1;-10)$, и точка на$\ell$туда же — всего одна точка, поэтому ноль выкалываем; правый край$\dfrac{5}{3}$ берём (склейка в углу). Всё сходится.