Первое уравнение — произведение с корнем, поэтому сразу выпишем область определения: y-2x+12\ge0, то есть точки на прямой \ell:\ y=2x-12 или выше неё. Множитель \sqrt{y-2x+12}=0 обнуляется на прямой \ell — значит вся эта прямая входит в решение.

Выше прямой (y-2x+12>0) корень положителен, и должна обнулиться скобка xy-2x+12=0, то есть y=2-\dfrac{12}{x} — гипербола. Хитрый момент: на этой гиперболе 12=x(2-y), и тогда условие области y-2x+12\ge0 превращается в y(1-x)\ge0. Разбирая знаки, получаем, что от гиперболы в наше множество входят только: вся левая ветка (x<0) и дуга при 1\le x\le6 (её концы (1;-10) и (6;0) как раз лежат на прямой \ell).

Второе уравнение y=ax-10 — пучок прямых через фиксированную точку (0;-10). Считаем, сколько раз такая прямая встречает наше множество (прямую \ell плюс куски гиперболы), и хотим ровно две точки.

С прямой \ell пересечение одно: ax-10=2x-12 даёт x=\dfrac{2}{2-a} (кроме a=2, когда прямые параллельны). С гиперболой: подставляя y=ax-10 в xy-2x+12=0, получаем ax^2-12x+12=0. У его корней замечательное свойство: (x_1-1)(x_2-1)=1.

При a<0 у этого уравнения один корень отрицательный (он на левой ветке — годится), а второй попадает в (0;1) (мимо дуги). Плюс точка на \ell — итого ровно две точки. Значит, все a<0 подходят.

При a&gt;0 оба корня положительны и больше 1. Смотрим их положение относительно правого конца дуги x=6 через f(6)=12(3a-5). При 0</p><p>Особые точки: приa=2прямая параллельна\ell(точки на\ellнет), а на дуге два корня — ровно две; приa=3дискриминант равен нулю, на дуге один (двойной) корень плюс точка на\ell— две. Приa>3гипербола не задевается вовсе, остаётся одна точка на\ell.</p><p>Ответ:a\in(-\infty;0)\cup\left(0;\dfrac{5}{3}\right]\cup\{2\}\cup\{3\}. Проверка: приa=0прямаяy=-10ловит угол(1;-10), и точка на\ellтуда же — всего одна точка, поэтому ноль выкалываем; правый край\dfrac{5}{3}$ берём (склейка в углу). Всё сходится.