ID: 00022372
Источник: ФИПИ
Первое уравнение то же, что в базовой задаче этого типа. Область определения $y-2x+12\ge0$: прямая $\ell:\ y=2x-12$ и всё выше неё; сама прямая $\ell$ целиком входит в решение (там $\sqrt{y-2x+12}=0$). Выше прямой обнуляем скобку $xy-2x+12=0$ — это гипербола $y=2-\dfrac{12}{x}$, от которой в множество входят левая ветка $x<0$ и дуга при $1\le x\le6$ (её концы $(1;-10)$ и $(6;0)$ лежат на $\ell$).
А вот вторая прямая теперь устроена иначе: $y=3x+a$ — наклон фиксированный ($3$), а параметр $a$ двигает её вверх-вниз (это вертикальный сдвиг). Поскольку наклон $3\ne2$, с прямой $\ell$ всегда ровно одно пересечение: $3x+a=2x-12$ даёт $x=-12-a$ — одна гарантированная точка.
Пересечение с гиперболой: подставляем $y=3x+a$ в $xy-2x+12=0$ и получаем $3x^2+(a-2)x+12=0$. Дискриминант $(a-2)^2-144$ неотрицателен при $a\le-10$ или $a\ge14$. Произведение корней равно $\dfrac{12}{3}=4>0$, значит корни одного знака: при $a<2$ — оба положительные, при $a>2$ — оба отрицательные.
Разберём $a\ge14$ (оба корня отрицательны — оба на левой ветке, годятся). При $a=14$ корень двойной ($x=-2$) — одна точка гиперболы плюс точка на $\ell$: ровно две. При $a>14$ два разных отрицательных корня — плюс точка на $\ell$ уже три, много. Значит, из этой зоны подходит только $a=14$.
Теперь $a\le-10$ (оба корня положительны). Смотрим, попадают ли они в дугу $[1;6]$, через $g(1)=a+13$ и $g(6)=6(a+18)$. При $a=-10$ двойной корень $x=2$ на дуге — с точкой на $\ell$ две. При $-13</p><p>Между$-10$и$14$дискриминант отрицателен, гипербола не задевается — одна точка на$\ell$.</p><p>Ответ:$a\in(-18;-13]\cup\{-10\}\cup\{14\}$. Проверка краёв: при$a=-18$склейка «съедает» точку и остаётся одна — левый край не берём; при$a=-13$(склейка в углу$(1;-10)$) получаются две — берём; изолированные$a=-10$и$a=14$ дают ровно две. Всё сходится.